Transformations du plan

Général

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Points théoriques

Isométries Homothéties Utilisation Droite d'Euler Cercle d'Euler

Exercices

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Utilisation

Lorsque l'on est en présence d'un problème de géométrie, appliquer à tout le plan une transformation du type rotation, translation, symétrie orthogonale ou homothétie n'a pas réellement d'intérêt. En effet, une telle transformation revient juste à faire tourner la figure, la bouger ou zoomer dessus, mais cela ne va bien sûr aucunement aider à résoudre le problème.

Pour illustrer la manière dont une telle transformation peut se révéler utile, considérons le problème suivant.

Problème

On a trois triangles équilatéraux

$ABC$ ,

$ADE$ et

$AFG$ comme ci-dessous, tels que

$D \in [AC]$ et

$F \in [AE]$ . Prouver que

$\widehat{BDF} = \widehat{CEG}$ .

Solution

Cette figure contient beaucoup d'angles de

$60^\circ$ , et pour cette raison il est naturel de songer à utiliser une rotation de

$60^\circ$ autour de

$A$ . Regardons les images de certains points de la figure sous une rotation de

$60^\circ$ (de sens trigonométrique) autour de

$A$ . On voit que l'image de

$C$ est exactement

$B$ , l'image de

$E$ est exactement

$D$ et l'image de

$G$ est exactement

$F$ . Du coup, comme une rotation est une isométrie, elle préserve les angles et on obtient directement que

$\widehat{BDF} = \widehat{CEG}$ ! En fait, on a même que les triangles

$BDF$ et

$CEG$ sont isométriques.

Il aurait bien sûr été possible de montrer, sans utiliser de rotation, que les deux triangles

$BDF$ et

$CEG$ sont isométriques. Cela aurait cependant été beaucoup plus laborieux, et remarquer qu'il existe une rotation envoyant certains points sur d'autres points a ici permis de conclure très rapidement.

Cette technique peut bien sûr être utilisée avec les autres transformations du plan.

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