$\begingroup$Une équation de Pell est une équation diophantienne de la forme
$$x^2 - Ky^2 = 1,$$ où $K$ est un entier positif qui n'est pas un carré parfait. Cette condition a priori étrange sur $K$ est en fait naturelle, puisque l'équation ne possède pas de solutions réellement intéressantes lorsque $K$ est un carré. En effet, si $K = L^2$, alors l'équation se réécrit $x^2 - (Ly)^2 = 1$, c'est-à-dire $(x-Ly)(x+Ly) = 1$, et les seules solutions sont $(1,0)$ et $(-1,0)$.
Un premier résultat intéressant concernant l'équation de Pell est le suivant.
Théorème (équation de Pell)
Si l'équation de Pell $x^2 - K y^2 = 1$ admet une solution $(x_1,y_1) \in \mathbb{N}_0^2$, alors elle en admet une infinité $(x_n, y_n) \in \mathbb{N}_0^2$ (avec $n \geq 1$) données par
$$\left\{\begin{align}
x_n = \frac{(x_1+\sqrt{K} y_1)^n + (x_1 - \sqrt{K}y_1)^n}{2}\\
y_n = \frac{(x_1+\sqrt{K} y_1)^n - (x_1 - \sqrt{K}y_1)^n}{2\sqrt{K}}
\end{align}\right. \quad (*)$$
Démonstration
Comme $(x_1,y_1)$ est solution, on a
$$x_1^2 - Ky_1^2 = 1,$$ ce qui peut se réécrire
$$(x_1 - \sqrt{K}y_1)(x_1 + \sqrt{K}y_1) = 1.$$ En élevant cette égalité à la puissance $n$, on obtient
$$(x_1 - \sqrt{K}y_1)^n(x_1 + \sqrt{K}y_1)^n = 1. \quad (1)$$ Or, par la formule du binôme de Newton (voir combinatoire), on sait que
$$(x_1 + \sqrt{K}y_1)^n = C^0_nx_1^n +C^1_n x_1^{n-1}y_1 \sqrt{K} + C^2_n x_1^{n-2}y_1^2K + \ldots + C^n_n y_1^n (\sqrt{K})^n.$$ Dans cette expression, un terme sur deux est entier (car il contient une puissance paire de $\sqrt{K}$ alors que les autres termes sont des multiples entiers de $\sqrt{K}$). On peut donc écrire
$$(x_1 + \sqrt{K}y_1)^n = x_n + \sqrt{K} y_n \quad (2)$$ avec $x_n, y_n \in \mathbb{N}$. Si on effectue le même raisonnement en développant $(x_1 - \sqrt{K}y_1)^n$, alors on obtiendra exactement les mêmes termes, hormis ceux multiples de $\sqrt{K}$ qui seront précédés d'un signe moins. Autrement dit, on a
$$(x_1 - \sqrt{K}y_1)^n = x_n - \sqrt{K} y_n, \quad (3)$$ où $x_n$ et $y_n$ sont les mêmes nombres que précédemment. En réinjectant $(2)$ et $(3)$ dans $(1)$, on obtient finalement
$$x_n^2 - Ky_n^2 = 1,$$ ce qui signifie que $(x_n,y_n)$ est à son tour solution de l'équation de Pell. De plus, on peut calculer $x_n$ et $y_n$ directement à partir de $x_1$ et $y_1$ en combinant les équations $(2)$ et $(3)$ et on retrouve exactement les formules de l'énoncé.
Si l'on trouve une solution (strictement positive) à une équation de Pell, alors on en a donc une infinité par la proposition précédente. En fait, on peut montrer que si $(x_1, y_1) \in \mathbb{N}_0^2$ est la plus petite des solutions, alors les solutions $(x_n, y_n)$ données par $(*)$ constituent toutes les solutions strictement positives de l'équation ! Par "plus petite" des solutions, on veut dire celle qui minimise $x$ (et qui minimise alors aussi $y$). On appelle celle-ci
solution minimale de l'équation de Pell $x^2-Ky^2 = 1$. On peut alors montrer qu'une telle solution minimale existe, et qu'on peut trouver toutes les autres solutions à partir de celle-ci.
Théorème (équation de Pell)
L'équation de Pell $x^2-Ky^2 = 1$ possède une (unique) solution minimale $(x_\mathrm{min}, y_\mathrm{min}) \in \mathbb{N}_0^2$ et toutes les solutions strictement positives de cette équation sont données par les formules $(*)$ avec $(x_1,y_1) = (x_\mathrm{min}, y_\mathrm{min})$ et $n \geq 1$.
Nous ne donnons pas la démonstration de ce résultat.
Relation de récurrence
Les formules pour $x_n$ et $y_n$ données ci-dessus ressemblent fortement aux formules associées à une suite récurrente linéaire, comme vu dans
ce chapitre. En effet, si on pose $r_1 = x_1 + \sqrt{K} y_1$ et $r_2 = x_1 - \sqrt{K} y_1$, alors on voit que $x_n$ et $y_n$ s'expriment comme une combinaison linéaire de $r_1^n$ et $r_2^n$, exactement comme le feraient les éléments d'une suite récurrente linéaire dont le polynôme caractéristique est de degré $2$ et possède $r_1$ et $r_2$ comme racines simples. On calcule facilement que $(X-r_1)(X-r_2) = X^2 - 2x_1 X + (x_1^2 - K y_1^2) = X^2 - 2x_1 X + 1$, ce qui signifie qu'une suite récurrente linéaire $(a_n)$ définie par $a_{n+2} = 2x_1 \cdot a_{n+1} - a_n$ possède une formule générale du type $a_n = c_1 \cdot r_1^n + c_2 \cdot r_2^n$, exactement comme les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ donnant les solutions de l'équation de Pell ! Réciproquement, on peut facilement vérifier qu'une suite $(a_n)$ avec une telle formule générale respecte nécessairement la formule de récurrence $a_{n+2} = 2x_1 \cdot a_{n+1} - a_n$. On en déduit donc le résultat suivant :
Formule de récurrence (équation de Pell)
Les solutions $(x_n, y_n)$ de l'équation de Pell $x^2 - Ky^2 = 1$, données par les formules $(*)$, vérifient les relations suivantes :
$$\left\{\begin{align}
x_{n+2} &= 2x_1\cdot x_{n+1} - x_n\\
y_{n+2} &= 2x_1\cdot y_{n+1} - y_n
\end{align}\right.$$
En pratique, si on est confronté à une équation de Pell $x^2 - Ky^2$ dont on cherche les solutions, cela veut dire que l'on peut d'abord trouver la solution minimale $(x_1, y_1)$ en essayant des petites valeurs, ensuite calculer $(x_2, y_2)$ grâce aux formules $(*)$ pour $n = 2$ :
$$\left\{\begin{align}
x_2 &= x_1^2 + K y_1^2\\
y_2 &= 2x_1 y_1
\end{align}\right. $$ et enfin déduire les solutions suivantes grâce aux relations de récurrence ci-dessus.
Par exemple, cherchons les premières solutions de $x^2 - 7y^2 = 1$ :
- En essayant des petites valeurs de $x$ on remarque que $8^2 - 7\cdot 3^2 = 1$, donnant $(x_1,y_1) = (8, 3)$.
- Grâce aux formules $(*)$ pour $n = 2$, on trouve que $(x_2, y_2) = (8^2 + 7\cdot 3^2, 2\cdot 8\cdot 3) = (127, 48)$.
- Grâce aux relations de récurrence, on trouve que $(x_3, y_3) = (16x_2 - x_1, 16y_2 - y_1) = (16\cdot 127 - 8, 16\cdot 48 - 3) = (2024, 765)$.
De façon générale, même si on ne cherche pas les valeurs précises des premières solutions, les relations de récurrence sont souvent plus faciles à manipuler que les formules $(*)$ et peuvent donc être utiles pour établir des propriétés des solutions d'une équation de Pell.
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