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Théorie > Théorie des nombres > Équations diophantiennes

Triplets pythagoriciens

Un autre exemple d'équation diophantienne est l'équation
x2+y2=z2, d'inconnues x,y,zN0.

Définition
Une solution (x,y,z) de cette équation est appelée triplet pythagoricien en référence au fait qu'on peut alors construire un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont données par x, y et z.

Exemples : Les triplets (3,4,5) (6,8,10), ou encore (5,12,13) sont pythagoriciens.

Encore une fois, alors que cette équation semble toute simple, nous allons voir que sa résolution l'est bien moins. On peut tout de même déjà remarquer que si (x,y,z) est un triplet pythagoricien, alors il en est de même de (kx,ky,kz) pour kN0. Réciproquement, si (x,y,z) est un triplet pythagoricien tel que pgcd(x,y,z)=d>1, alors (xd,yd,zd) est aussi un triplet pythagoricien avec pgcd(xd,yd,zd)=1. C'est pourquoi, pour trouver tous les triplets pythagoriciens, il suffit de trouver ceux tels que x, y et z sont premiers entre eux. On parle alors de triplet pythagoricien primitif, et nous allons maintenant nous intéresser à ces triplets particuliers.

Exemples : les triplets (3,4,5) et (5,12,13) sont primitifs, mais le triplet (6,8,10) ne l'est pas car pgcd(6,8,10)=2.

Un premier résultat quasi immédiat les concernant est le suivant.

Lemme
Si (x,y,z) est un triplet pythagoricien primitif, alors x et y sont de parités différentes et z est impair.

Démonstration
Considérons (x,y,z) un triplet pythagoricien primitif. On sait déjà que x et y ne sont pas tous les deux pairs, car z le serait alors également et le triplet ne serait pas primitif. D'autre part, les nombres x et y ne peuvent pas être tous les deux impairs. En effet, si tel était le cas, on aurait xy1(mod2) et par suite x2y21(mod4) (un carré n'étant jamais congru à 3 modulo 4). On aurait donc
z2x2+y22(mod4), ce qui est impossible puisque tout carré parfait pair (comme z2) est multiple de 4.
On en déduit que x et y sont forcément de parités différentes, et par suite que z est impair.

Voici à présent la caractérisation des triplets pythagoriciens primitifs.

Théorème (triplets pythagoriciens primitifs)
Les triplets pythagoriciens primitifs (x,y,z) avec x impair (et y pair) sont exactement donnés par
(p2q2, 2pq, p2+q2)p et q sont des nombres premiers entre eux, de parités différentes et tels que p>q.

Démonstration
On voit directement que les triplets (p2q2,2pq,p2+q2) avec p>q premiers entre eux et de parités différentes sont des triplets pythagoriciens primitifs (avec p2q2 impair). En effet, on a
(p2q2)2+(2pq)2=p4+q42p2q2+4p2q2=(p2+q2)2 et les nombres p2q2 et p2+q2 sont bien premiers entre eux (sinon, p et q ne seraient pas premiers entre eux).

La difficulté est donc de prouver le résultat réciproque, c'est-à-dire que tous les triplets pythagoriciens primitifs sont de cette forme. Pour ce faire, supposons que (x,y,z) soit un triplet pythagoricien primitif avec x impair et y pair. On peut alors écrire y=2a et on a
y2=4a2=z2x2=(zx)(z+x). Comme x et z sont impairs, zx et z+x sont pairs et on peut poser z+x=2b et zx=2c. On a alors
a2=bc. Or, b et c sont premiers entre eux, car s'ils étaient divisibles par un même k>1, ce nombre k diviserait également x, y et z (contredisant le fait que notre triplet est primitif). On en déduit que b et c doivent tous les deux être des carrés parfaits, d'où on peut poser b=p2 et c=q2 et on a alors
{z=b+c=p2+q2x=bc=p2q2y=2a=2bc=2pq De plus, les nombres p et q sont bien premiers entre eux car le contraire impliquerait clairement que pgcd(x,y,z)>1.

Pour (p,q)=(2,1) et (p,q)=(3,2), on retrouve les triplets bien connus (3,4,5) et (5,12,13).