Concours > Concours #5

Description

Après un concours de théorie des nombres et un autre de combinatoire, voici un concours d’équations fonctionnelles juste avant le début de la session d'examens. Le principe est simple : d'abord trois week-ends avec chaque fois trois problèmes classés par difficulté croissante (allant du niveau ~1 au niveau ~5 en passant par le niveau ~3), le tout terminé en beauté avec un dixième problème disponible toute une semaine (et dont on ne donne pas la difficulté pour ne pas vous effrayer :-D)
Un petit conseil pour la route : n'oubliez pas de vérifier vos solutions ! 3:[

Organisateurs du concours : Daniel Cortild et Nicolas Radu.

Classement final

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Problèmes

Problème #1

Solutions acceptées du vendredi 3 mai 2019 à 16h00 au dimanche 5 mai 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f\colon \mathbb R
\to \mathbb R$ vérifiant
$$2f(x)+f(1-x)=x+1 \ \text{ pour tout $x \in \mathbb R$.}$$

Statistiques

Tenté par 53 personnes
Scores parfaits : 48

Problème #2

Solutions acceptées du vendredi 3 mai 2019 à 16h00 au dimanche 5 mai 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f\colon \mathbb R\to\mathbb R$ vérifiant $$f(x+y)-f(x-y)=f(x)f(y)\ \text{ pour tous $x,y \in \mathbb R$.}$$

Statistiques

Tenté par 46 personnes
Scores parfaits : 40

Problème #3

Solutions acceptées du vendredi 3 mai 2019 à 16h00 au dimanche 5 mai 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f\colon \mathbb R_0^+\to \mathbb R_0^+$ telles que $f(x)$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et vérifiant $$f(xf(y))=yf(x)\ \text{ pour tous $x,y \in \mathbb R_0^+$.}$$
(Dans ce contexte, le fait que $f(x)$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ signifie que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $M$ tel que $f(x) \leq \varepsilon$ pour tout $x \geq M$.)

Statistiques

Tenté par 37 personnes
Scores parfaits : 25
Origine du problème : International Mathematical Olympiad 1983, Problème 1

Problème #4

Solutions acceptées du vendredi 10 mai 2019 à 16h00 au dimanche 12 mai 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Soit une fonction $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ vérifiant
$$x+f(x)=f(f(x))\ \text{ pour tout $x\in\mathbb R$.}$$ Trouver toutes les valeurs de $x$ telles que $f(f(x))=0$.

Statistiques

Tenté par 40 personnes
Scores parfaits : 34

Problème #5

Solutions acceptées du vendredi 10 mai 2019 à 16h00 au dimanche 12 mai 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Soit $\mathbb Z[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients entiers (d'indéterminée $X$). Trouver toutes les fonctions $f \colon \mathbb Z[X]\to \mathbb Z$ associant un nombre entier à tout tel polynôme et vérifiant les deux conditions suivantes :
  1. $f(p+1)=f(p)+1$ pour tout polynôme $p \in \mathbb Z[X]$ ;
  2. pour tous polynômes $p,q \in \mathbb Z[X]$, si $f(p) \neq 0$ alors $f(p)$ divise $f(p\cdot q)$.

Statistiques

Tenté par 12 personnes
Scores parfaits : 9
Origine du problème : USA Team Selection Team Selection Test 2018, Jour 1, Problème 1

Problème #6

Solutions acceptées du vendredi 10 mai 2019 à 16h00 au dimanche 12 mai 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f\colon ]0,1[ \to ]0,1[$ telles que, pour tous $x,y,z\in\mathbb ]0,1[$ vérifiant $x+y+z=1$, on a
$$f(x)+f(y)+f(z)=1.$$

Statistiques

Tenté par 9 personnes
Scores parfaits : 4
Origine du problème : AoPS

Problème #7

Solutions acceptées du vendredi 17 mai 2019 à 16h00 au dimanche 19 mai 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f \colon \mathbb N_0 \to \mathbb N_0$ vérifiant $f(n) \geq n$ pour tout $n \in \mathbb N_0$ et
$$f(m-n+f(n)) = f(m)+f(n)\ \text{ pour tous $m,n \in \mathbb N_0$.}$$

Statistiques

Tenté par 15 personnes
Scores parfaits : 13
Origine du problème : AoPS

Problème #8

Solutions acceptées du vendredi 17 mai 2019 à 16h00 au dimanche 19 mai 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs. Trouver toutes les fonctions $f\colon \mathbb R_{\geq 0}\to \mathbb R_{\geq 0}$ vérifiant $$f(f(x))+af(x)=b(a+b)x\ \text{ pour tout $x\in\mathbb R_{\geq 0}$.}$$

Statistiques

Tenté par 9 personnes
Scores parfaits : 8
Origine du problème : IMO Shortlist 1992

Problème #9

Solutions acceptées du vendredi 17 mai 2019 à 16h00 au dimanche 19 mai 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Trouver tous les couples de fonctions $f,g\colon \mathbb R\to \mathbb R$ vérifiant $$f(x^2+xy+y\cdot g(y))=f(x^2)+y\cdot g(x+y)\ \text{ pour tous $x, y \in \mathbb R$.}$$

Statistiques

Tenté par 7 personnes
Scores parfaits : 4
Origine du problème : AoPS

Problème #10

Solutions acceptées du lundi 20 mai 2019 à 0h00 au dimanche 26 mai 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ telles que $f(1)=1$ et vérifiant
$$f\left(f(x)\cdot y+\frac xy\right)=xy\cdot f(x^2+y^2)\ \text{ pour tout $x\in\mathbb R$ et tout $y\in\mathbb R_0$.}$$
Bonus : Enlever la condition sur $f(1)$.

Statistiques

Tenté par 3 personnes
Scores parfaits : 2
Origine du problème : AoPS