Concours > Concours #20

Énoncé

$\begingroup$Bill entreprend de ranger des billes dans $n \ge 2$ tiroirs. Il commence par placer $1$ bille dans le premier tiroir, $2$ billes dans le deuxième tiroir, $\ldots$, et $n$ billes dans le $n^\text{ème}$ tiroir. Ensuite, chaque minute, il déplace deux billes d'un tiroir (contenant au moins deux billes) vers un autre tiroir. Montrer qu'il existe un unique entier $k$ (dépendant éventuellement de $n$) tel que Bill peut aboutir à une configuration où chaque tiroir est soit vide, soit contient $k$ billes.$\endgroup$

Énoncé

$\begingroup$Soit $ABC$ un triangle tel que $\widehat{ABC} < \widehat{CAB} < 90\degree$. La médiatrice du segment $[AB]$ coupe le segment $[BC]$ en $D$ et la droite $AC$ en $E$. La bissectrice de l'angle $\widehat{ABC}$ coupe le segment $[AC]$ en $F$. Si $\widehat{BFD}=\widehat{ABC}$ et $\widehat{FDC}=\widehat{DEB}$, alors déterminer les amplitudes des angles du triangle $ABC$.$\endgroup$

Énoncé

$\begingroup$Soit $u_1, u_2, u_3, \ldots$ une suite de nombres réels non-nuls. On suppose que cette suite vérifie
$$u_{n+3}=\frac{u_n u_{n+2}}{u_{n+1}} \quad \text{pour tout $n \ge 1$},$$ que $u_{25}$ et $u_{75}$ sont entiers, et que $u_{50}=u_{100}$. Montrer que $$u_1^{2026}+u_2^{2026}+ \ldots +u_{99}^{2026}+u_{100}^{2026}$$ est un carré parfait.$\endgroup$

Énoncé

$\begingroup$Trouver tous les carrés parfaits pouvant s'écrire comme $p^{2n} + (2p)^{n+1}$ avec $p$ premier et $n$ naturel non-nul.$\endgroup$

Énoncé

$\begingroup$Un $n$-uple $(a_0, a_1, \ldots,a_{n-1})$ est appelé auto-référent si pour tout $i \in \{0, 1, \ldots, n-1\}$, il contient exactement $a_i$ fois l'entier $i$. Par exemple, $(2, 0, 2, 0)$ est auto-référent.

Montrer que pour tout $n \ge 7$, il existe exactement un $n$-uple auto-référent.$\endgroup$

Énoncé

$\begingroup$Prouver que, pour tous $a, b \in \mathbb N_0$ distincts, on a
$$\ppcm(a,b)+\ppcm(a+1,b+1)>\frac{2 a b} {\sqrt{|a-b|}}.$$$\endgroup$

Énoncé

$\begingroup$Soit $ABC$ un triangle de centre de gravité $G$ et soit $M$ et $N$ les milieux des segments $[AB]$ et $[AC]$. Les tangentes en $M$ et $N$ au cercle circonscrit au triangle $AMN$ rencontrent la droite $BC$ en $R$ et $S$ respectivement. Le point $X$ est sur le segment $[BC]$ et vérifie $\widehat{CAG} = \widehat{BAX}$. Prouver que la droite $GX$ est l'axe radical des cercles circonscrits aux triangles $BMS$ et $CNR$.$\endgroup$

Énoncé

$\begingroup$Trouver toutes les fonctions $f:\R\rightarrow \R$ telles que pour tous $x,y\in\R$, on a
$$f(xf(y) + y^2) = (x + y)f(x) + (x + f(y))f(y - x).$$$\endgroup$

Énoncé

$\begingroup$Soit $S=\{1,2,\ldots,10^{2025}\}$. Considérons une bijection $f : S\to S$ telle que
\[ \forall m,n\in S,\quad m\mid n\implies \bigl( f(m)\mid f(n)\text{ ou }f(n)\mid f(m)\bigr).\] Montrer que $f(p)$ est premier pour tout $p\in S$ premier.$\endgroup$

Énoncé

$\begingroup$Sur un échiquier infini, une $n$-coloration consiste à colorier une case en vert, une case en bleu, et $n$ cases en rouge. Une $n$-coloration est dite valide s'il est possible pour une tour (se déplaçant uniquement horizontalement ou verticalement) de se rendre de la case verte à la case bleue sans passer par aucune case rouge. Lorsqu'une tour peut faire cela en $m$ mouvements ou moins (chaque mouvement consistant à se déplacer d'une ou plusieurs cases dans une même direction), on dit même que la $n$-coloration est $m$-valide. Finalement, une fonction $f : \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ est dite démentielle si, pour tout $n \in \mathbb{N}_0$, toute $n$-coloration valide est $f(n)$-valide.

1. Montrer que, pour $c \in \mathbb R_0^+$, la fonction $g_c : n \mapsto \lfloor c \cdot n + 100 \rfloor$ est démentielle si et seulement si $c \ge 2$.
2. Déterminer si la fonction $h : n \mapsto \lfloor 2n - 2\sqrt{3n} + 100\rfloor $ est démentielle.

Par exemple, voici une $5$-coloration valide qui est $4$-valide mais n'est pas $3$-valide.

$\endgroup$