Concours > Concours #11

Description

Voici le dernier con-cours/finement. Il sera légèrement plus difficile que les deux concours précédents et est constitué de trois séries de trois problèmes ; dans chaque série les problèmes sont rangés par ordre de difficulté croissante. Les premiers problèmes de chaque catégorie devraient être accessibles à tout le monde. Les autres problèmes sont entre moyennement difficile et difficile ; sauf le dernier problème qui est naturellement très difficile.

Tous les thèmes olympiques seront abordés, mais seuls de jolis problèmes sont présents ! Profitez en bien !

Organisateurs du concours : Elias Caeiro, Paul Cahen et Aurélien Fourré.

Classement après 3 problèmes

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Problèmes

Problème #1

Solutions acceptées du jeudi 7 mai 2020 à 14h00 au dimanche 10 mai 2020 à 14h00 (heures belges).

Énoncé

Si $m\ge1$ est un entier, on dit qu'une suite de réels $a_0, a_1, a_2, \ldots$ est $m$-magnifique si $$\sum_{k=0}^na_k^m=\left(\sum_{k=0}^na_k\right)^m$$pour tout entier $n\ge0$.

  1. Montrer que toute suite $2020$-magnifique possède au plus un terme non nul.
  2. Montrer qu'il existe une suite $2019$-magnifique sans aucun terme nul.

Statistiques

Tenté par 30 personnes
Scores parfaits : 24
Origine du problème : 2017 Irish Mathematical Olympiad, Problem 10

Problème #2

Solutions acceptées du jeudi 7 mai 2020 à 14h00 au dimanche 10 mai 2020 à 14h00 (heures belges).

Énoncé

On se donne $6$ points du plan, trois quelconques non-alignés. On suppose qu'il existe un réel $k$ tel que pour tous quatre points parmi les $6$, on peut en choisir un dont la puissance par rapport au cercle circonscrit des trois autres vaut $k$.

Montrer que les $6$ points sont sur un même cercle.

Remarque
La puissance d'un point à l'intérieur d'un cercle par rapport à ce cercle est négative.

Statistiques

Tenté par 15 personnes
Scores parfaits : 11
Origine du problème : 2017 Iran Team Selection Test 3, Problem 4

Problème #3

Solutions acceptées du jeudi 7 mai 2020 à 14h00 au dimanche 10 mai 2020 à 14h00 (heures belges).

Énoncé

Soit $f\colon \mathbb Z_{>0}\to\mathbb Z_{>0}$ une fonction telle que
$$n\le f(n)\le n+2020$$ pour tout entier strictement positif $n$. On suppose de plus que $\mathrm{pgcd}(f(n),f(m))\le \mathrm{pgcd}(n,m)^{2020}$ pour tout couple d'entiers strictement positifs $(m,n)$.

Montrer que $f(n)=n$ pour tout entier $n$ suffisamment grand.

Statistiques

Tenté par 14 personnes
Scores parfaits : 10
Origine du problème : 2014 China Team Selection Test 1, Problem 3

Problème #4

Solutions acceptées du dimanche 10 mai 2020 à 14h00 au mercredi 13 mai 2020 à 14h00 (heures belges).

Énoncé

Soient $k$ et $n$ deux naturels non nuls. On dispose de $k$ couleurs, $k+1$ poteaux et $n$ anneaux de chacune des $k$ couleurs. Au départ, les anneaux sont disposés sur les $k$ premiers poteaux de sorte qu'il y ait exactement $n$ anneaux sur chaque poteau.

Un mouvement consiste à prendre l'anneau du dessus d'un poteau et à le poser au-dessus des anneaux d'un autre poteau. On souhaite parvenir à une situation où les anneaux sont bien rangés, c'est-à-dire que sur chacun des $k$ premiers poteaux il y a $n$ anneaux de la même couleur.

  1. Montrer que, quelle que soit la répartition initiale des anneaux, il existe une suite de mouvements tels que les anneaux soient bien rangés à la fin, et qu'à tout moment il y ait au plus $n$ anneaux sur chaque poteau.

  2. Déterminer toutes les répartitions initiales telles que la même chose ne soit plus possible si on demande en plus d'avoir au plus $n-1$ anneaux sur le dernier poteau à tout moment.

Statistiques

Tenté par 15 personnes
En cours de correction

Problème #5

Solutions acceptées du dimanche 10 mai 2020 à 14h00 au mercredi 13 mai 2020 à 14h00 (heures belges).

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f\colon \mathbb R_{>0}\to\mathbb R_{>0}$ vérifiant $$f(xy+f(x))=f(f(x)f(y))+x$$ pour tous réels $x,y>0$.

Statistiques

Tenté par 14 personnes
En cours de correction

Problème #6

Solutions acceptées du dimanche 10 mai 2020 à 14h00 au mercredi 13 mai 2020 à 14h00 (heures belges).

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle et $\Omega$ son cercle circonscrit. On considère un cercle $\omega$ tangent intérieurement à $\Omega$ en $A$. On note $P$ et $Q$ les points d'intersection (distincts de $A$) de $\omega$ avec les droites $AB$ et $AC$ respectivement. On note également $O$ l'intersection des droites $BQ$ et $PC$. Soit $A'$ le symétrique de $A$ par rapport à la droite $BC$, et $S$ le point d'intersection de $OA'$ avec l'arc $PQ$ de $\omega$ ne contenant pas $A$.

Montrer que le cercle circonscrit à $BSC$ est tangent à $\omega$.

Statistiques

Tenté par 5 personnes
En cours de correction

Problème #7

Solutions acceptées du mercredi 13 mai 2020 à 14h00 au samedi 16 mai 2020 à 14h00 (heures belges).

Énoncé

Soient $m$ et $n$ des nombres naturels non-nuls, tels que $n\mid a^m-1$ pour tout entier $a$ premier avec $n$.

Montrer que $n \le 2^{m+2}\cdot m$.

Statistiques

Tenté par 14 personnes
En cours de correction

Problème #8

Solutions acceptées du mercredi 13 mai 2020 à 14h00 au samedi 16 mai 2020 à 14h00 (heures belges).

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle, $H$ son orthocentre et $H_A$, $H_B$ et $H_C$ les pieds des hauteurs issues de $A$, $B$ et $C$ respectivement. Soit $\Gamma$ le cercle de diamètre $[BC]$ et $M$ son centre. La droite $AM$ coupe $\Gamma$ en $X$ et $Y$. De plus, la droite $H_BH_C$ coupe la droite $AH$ en $P$ et la droite $BC$ en $Q$.

Montrer que les droites $HQ$, $PX$ et $H_AY$ sont concourantes.

Statistiques

Tenté par 7 personnes
En cours de correction

Problème #9

Solutions acceptées du mercredi 13 mai 2020 à 14h00 au samedi 16 mai 2020 à 14h00 (heures belges).

Énoncé

Soient $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction et $a< b$ deux nombres réels. On suppose que $f(x)=0$ pour tout $x\in[a,b]$ et que $$\sum_{k=0}^{p-1}f\left(y+\frac kp\right)=0$$ pour tout $y\in\mathbb R$ et tout $p$ premier.

Montrer que $f$ est identiquement nulle.

Statistiques

Tenté par 6 personnes
En cours de correction