La loi des sinus est fondamentale. Dans celle-ci, il est important de retenir la dernière égalité, parfois oubliée par les élèves.
On va simplement montrer que
asinA=2R. On aura bien sûr les mêmes égalités avec
b et
c.
On trace le cercle circonscrit à
ABC et note
D le point de ce cercle tel que
[BD] en soit un diamètre. On a alors
^BAC=^BDC (angles inscrits), et on en déduit que
asinA=|BC|sin^BAC=|BC|sin^BDC=|BD|, où la dernière égalité vient du fait que le triangle
BCD est rectangle en
C (car il est inscrit dans un demi-cercle). Puisque
|BD|=2R, la démonstration est terminée.

. Il s'agit en fait d'une généralisation du théorème de Pythagore aux triangles non nécessairement rectangles.
est acutangle. Elle est totalement analogue lorsque le triangle est obtusangle, il faut juste discuter plusieurs cas.
On note
P le pied de la hauteur de
ABC issue de
A, et
h=|AP|,
d=|CP|. On peut alors appliquer Pythagore au triangle
APB pour obtenir :
c2=h2+(a−d)2=h2+a2+d2−2ad. Or, on a aussi
h2+d2=b2 par Pythagore dans le triangle
APC, d'où
c2=b2+a2−2ad. Il ne reste alors plus qu'à constater que
d=bcosC, ce qui nous donne finalement
c2=a2+b2−2abcosC. 