Cercle d'Euler
Comme démontré dans le point théorique à ce sujet, le cercle d'Euler d'un triangle $ABC$ passe par les milieux des trois côtés, les pieds des trois hauteurs, et les milieux des segments $[AH]$, $[BH]$ et $[CH]$, où $H$ est l'orthocentre du triangle.
En fait, ce cercle passe par de nombreux autres points particuliers du triangle, moins connus. Dans la suite de cet article, nous présentons un de ces points.
Points de Fermat
Étant donné un triangle $ABC$ (dont nous allons dorénavant supposer qu'il n'a pas d'angle de plus de $120^\circ$), son (premier) point de Fermat est le point $P$ du plan qui minimise la somme des distances aux sommets, à savoir $|PA| + |PB| + |PC|$. Il peut être démontré que ce point, noté $F_1$, s'obtient en construisant les trois triangles équilatéraux extérieurs $ABC'$, $BCA'$ et $CAB'$ et en prenant le point d'intersection des droites $AA'$, $BB'$ et $CC'$. Pour voir que ces trois droites sont concourantes, on peut en fait plutôt définir $F_1$ comme l'intersection des cercles circonscrits aux triangles $ABC'$ et $BCA'$. Il vient alors directement que $F_1$ se situe sur le cercle circonscrit à $CAB'$ également et que les segments $[F_1A]$, $[F_1C']$, $[F_1B]$, $[F_1A']$, $[F_1C]$ et $[F_1B']$ forment des angles de $60^\circ$ entre eux. En particulier $F_1$ se trouve bien sur les trois droites $AA'$, $BB'$ et $CC'$.
On aurait aussi pu construire les triangles équilatéraux vers l'intérieur du triangle, comme sur la figure suivante. Si on note ceux-ci $ABC''$, $BCA''$ et $CAB''$, alors on peut également montrer que les droites $AA''$, $BB''$ et $CC''$ sont concourantes et on appelle leur point d'intersection le deuxième point de Fermat $F_2$. Celui-ci ne peut par contre pas être caractérisé avec ses distances aux sommets comme $F_1$. À noter que le triangle doit être non équilatéral pour que cette construction ait un sens.
Milieu de $[F_1F_2]$
Si l'on construit le milieu $F$ du segment $[F_1F_2]$ reliant les deux points de Fermat, alors on peut s'apercevoir que $F$ se situe sur le cercle d'Euler du triangle !
Ce résultat est assez surprenant : les neufs points dont on sait qu'ils se situent sur le cercle d'Euler sont tous définis de manière asymétrique en privilégiant un sommet du triangle. Ce n'est par contre pas le cas de ce point $F$, qui est défini sans privilégier aucun sommet.
Le cercle d'Euler se révèle en fait assez mystérieux. Nous espérons que cet article vous aura émerveillé l'espace d'un instant et donné l'envie de reprendre l'étude de la géométrie du plan à plein temps !
