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Actualités

Le cap des 100.000 points !
20 avril 2016 à 19h35
Pour fêter les $100.000$ points distribués sur le site, un nouveau chapitre sur les transformations du plan a été mis en ligne. Il y est aussi question de la droite d'Euler et du cercle d'Euler d'un triangle, qui passent tous les deux par des points particuliers du triangle.

Cercle d'Euler

Comme démontré dans le point théorique à ce sujet, le cercle d'Euler d'un triangle $ABC$ passe par les milieux des trois côtés, les pieds des trois hauteurs, et les milieux des segments $[AH]$, $[BH]$ et $[CH]$, où $H$ est l'orthocentre du triangle.


En fait, ce cercle passe par de nombreux autres points particuliers du triangle, moins connus. Dans la suite de cet article, nous présentons un de ces points.

Points de Fermat

Étant donné un triangle $ABC$ (dont nous allons dorénavant supposer qu'il n'a pas d'angle de plus de $120^\circ$), son (premier) point de Fermat est le point $P$ du plan qui minimise la somme des distances aux sommets, à savoir $|PA| + |PB| + |PC|$. Il peut être démontré que ce point, noté $F_1$, s'obtient en construisant les trois triangles équilatéraux extérieurs $ABC'$, $BCA'$ et $CAB'$ et en prenant le point d'intersection des droites $AA'$, $BB'$ et $CC'$. Pour voir que ces trois droites sont concourantes, on peut en fait plutôt définir $F_1$ comme l'intersection des cercles circonscrits aux triangles $ABC'$ et $BCA'$. Il vient alors directement que $F_1$ se situe sur le cercle circonscrit à $CAB'$ également et que les segments $[F_1A]$, $[F_1C']$, $[F_1B]$, $[F_1A']$, $[F_1C]$ et $[F_1B']$ forment des angles de $60^\circ$ entre eux. En particulier $F_1$ se trouve bien sur les trois droites $AA'$, $BB'$ et $CC'$.


On aurait aussi pu construire les triangles équilatéraux vers l'intérieur du triangle, comme sur la figure suivante. Si on note ceux-ci $ABC''$, $BCA''$ et $CAB''$, alors on peut également montrer que les droites $AA''$, $BB''$ et $CC''$ sont concourantes et on appelle leur point d'intersection le deuxième point de Fermat $F_2$. Celui-ci ne peut par contre pas être caractérisé avec ses distances aux sommets comme $F_1$. À noter que le triangle doit être non équilatéral pour que cette construction ait un sens.



Milieu de $[F_1F_2]$

Si l'on construit le milieu $F$ du segment $[F_1F_2]$ reliant les deux points de Fermat, alors on peut s'apercevoir que $F$ se situe sur le cercle d'Euler du triangle !


Ce résultat est assez surprenant : les neufs points dont on sait qu'ils se situent sur le cercle d'Euler sont tous définis de manière asymétrique en privilégiant un sommet du triangle. Ce n'est par contre pas le cas de ce point $F$, qui est défini sans privilégier aucun sommet.

Le cercle d'Euler se révèle en fait assez mystérieux. Nous espérons que cet article vous aura émerveillé l'espace d'un instant et donné l'envie de reprendre l'étude de la géométrie du plan à plein temps !
Bonne année 2016 !
3 janvier 2016 à 21h31
Mathraining souhaite à tous ses utilisateurs une joyeuse année 2016, remplie de mathématiques !

L'année commence avec un parfait ex-aequo de Corentin et Laurent à la première place du classement des meilleurs solveurs de problèmes ! Ceux-ci n'ont pourtant pas résolu les mêmes problèmes, comme on peut le voir grâce au comparatif de leurs performances.

En cadeau pour cette nouvelle année, votre administrateur préféré vous offre une photo du 31 décembre 2015, prise à Kiruna, Suède (au-dessus du cercle arctique).

Quelques statistiques (2)
28 juin 2015 à 16h51
Voici de nouvelles statistiques concernant le site, après un peu plus de six mois d'existence !


Les étudiants sont toujours aussi sérieux !



On peut remarquer que les étudiants restent humains et prennent tout de même le temps de se nourrir le soir !



Même si les soumissions ne sont plus corrigées aussi rapidement que les jours suivant le lancement du site, il reste que 70% des soumissions sont corrigées en moins de 5 heures et 96% en moins d'une journée. Le record de la soumission corrigée la plus rapidement est actuellement de 29 secondes ! Par contre, merci à Laurent d'avoir patienté plus de 63 heures avant d'apprendre que sa solution était erronée...



Le problème le plus résolu (par 20 personnes différentes) est le problème #3120 (théorie des nombres). Les deux problèmes n'ayant été résolu que par Corentin pour le moment sont les problèmes #5457 (équation fonctionnelle) et #4567 (algèbre).
Messagerie
6 mars 2015 à 23h15
Un système de messagerie vient d'être mis en place !

Il est maintenant possible d'envoyer un message personnel à tout autre utilisateur du site.

Il ne s'agit pas d'une messagerie instantanée (en ce sens que les messages ne s'affichent pas dès qu'ils sont envoyés par l'autre utilisateur, mais bien dès qu'on recharge une page). Le but n'est en effet pas ici de concurrencer Facebook, et les utilisateurs souhaitant faire plus ample connaissance par une vraie conversation en direct devront privilégier un site prévu à cet effet :-).

Les messages personnels, comme leur nom l'indique, ne sont visibles que par les personnes concernées et les administrateurs n'y ont donc pas accès.
Tests virtuels
30 décembre 2014 à 23h35
Il est à présent possible de s'entraîner dans des conditions proches d'un test de sélection ou d'une compétition du type OMI. Voici quelques informations concernant ces tests virtuels :

  1. Chaque test contient plusieurs problèmes, a une durée déterminée et peut être commencé quand l'étudiant le désire.

  2. Une fois le test commencé, l'étudiant a le temps du test pour écrire des solutions aux différents problèmes. Ces solutions pourront être modifiées par l'étudiant tant que le temps n'est pas écoulé.

  3. Une fois le temps écoulé, les solutions sont corrigées et un score entre 0 et 7 est attribué pour chaque problème. Les scores obtenus n'ont pas d'impact sur les points usuels du site et ne seront pas visibles par les autres étudiants. Il s'agit donc d'une cotation pûrement informative.

  4. Une fois le test terminé, les problèmes du test deviennent aux yeux de l'étudiant des simples problèmes comme les autres. Si la solution fournie durant le test est correcte, alors les points associés au problème correspondant seront attribués à l'étudiant. Si la solution n'est pas (entièrement) correcte, alors il sera toujours possible comme pour un problème usuel de corriger la solution ou d'en soumettre une nouvelle pour tenter de remporter les points associés.

  5. L'accès au reste du site n'est pas restreint pendant un test, cela étant difficilement réalisable d'un point de vue informatique (puisque le contenu du site est visible des utilisateurs non connectés). L'étudiant est donc libre d'aller voir la théorie s'il le désire, comme il est libre de décider de ne pas s'aider pour reproduire les conditions d'un vrai test.

  6. Ces tests sont là pûrement à titre d'entraînement et n'auront pas d'impact sur la sélection aux différentes compétitions internationales ! Il n'y a donc aucune pression à avoir.

Les tests sont accessibles dans l'onglet Problèmes > Tests virtuels. Un test ne s'affiche que lorsque l'étudiant a complété suffisamment de chapitres et qu'il connaît donc toute la théorie nécessaire à la bonne résolution des différents problèmes. Un test a déjà été mis en ligne (et ne possède que peu de chapitres pour prérequis).

PS : Merci Manon pour l'idée !