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Actualités

Médailles et mentions honorables
19 décembre 2020 à 14h27
Voici deux ans que des concours sont organisés sur Mathraining, avec déjà 13 concours organisés. Cette fin d'année va voir les concours évoluer, puisque dorénavant des médailles et mentions honorables (virtuelles bien sûr) seront attribuées aux participants !

Les règles d'attribution seront similaires à la plupart des olympiades internationales :
  • Au moins un douzième des participants se verra attribuer une médaille d'or ;
  • Au moins un quart des participants se verra attribuer une médaille d'or ou d'argent ;
  • Au moins la moitié des participants se verra attribuer une médaille d'or, d'argent ou de bronze ;
  • Les participants non médaillés mais ayant résolu entièrement au moins un problème se verront attribuer une mention honorable.
Les médailles seront attribuées automatiquement de sorte à respecter ces règles tout en minimisant le nombre de médailles. (Pour être complet d'un point de vue mathématique, il faut sans doute préciser qu'on commence par le haut du classement pour attribuer les médailles...)

Le Concours #14 va avoir lieu pendant ces vacances d'hiver et sera l'occasion parfaite d'expérimenter ce nouveau système ! Notez qu'il n'y aura pas d'effet rétroactif sur les treize premiers concours, donc ce nouveau concours sera bel et bien la première occasion de glâner des mentions et médailles !
Les Concours de Mathraining
31 décembre 2018 à 21h49
Certains en ont entendu parler depuis plusieurs mois, pour d'autres c'est une surprise... Voici venus les Concours sur Mathraining !

Le principe est simple : des organisateurs s'occupent de rassembler des problèmes intéressants et fixent une période de temps pour la résolution de chaque problème. Tous les autres utilisateurs du site (ayant au moins 200 points) peuvent alors participer au concours en tentant de résoudre chaque problème dans les temps. Les organisateurs s'occupent de corriger toutes les solutions, et les résultats sont publiés dès que tout est corrigé. Les concours n'ont pas d'influence sur le reste du site : en particulier les problèmes des concours ne rapportent pas de points.

La meilleure manière de comprendre le principe est probablement d'y participer : c'est pourquoi le Concours #1 a déjà été programmé. Il compte six problèmes (certains faciles et d'autres plus compliqués) et aura lieu lors des trois prochains week-ends. Un sujet a été ouvert sur le forum (et ce sera le cas pour chaque concours) pour réunir les discussions autour des problèmes et résultats. Il s'agit d'un premier essai donc soyez indulgents concernant l'organisation de ce premier concours...

Bon amusement à tous, et bonne année 2019 !
Un plan projectif d'ordre 2018 ?
1 janvier 2018 à 0h03
Pour fêter cette nouvelle année, un nouveau chapitre de géométrie, sur les rapports anharmoniques, vient d'être mis en ligne ! Il y est aussi fait mention du plan projectif réel, qui peut être vu comme le plan euclidien habituel auquel on ajoute des "points à l'infini" et une "droite à l'infini". La notion de plan projectif peut en fait être définie de manière totalement combinatoire, et le plan projectif réel dont nous parlons dans le chapitre est alors un exemple de plan projectif. C'est de cette notion combinatoire, très simple à comprendre et menant pourtant rapidement à une conjecture non-résolue, que nous parlons ci-dessous.

Définition

Un plan projectif est la donnée d'un ensemble $\mathcal{P}$ (dont les éléments sont appelés points), d'un ensemble $\mathcal{L}$ (dont les éléments sont appelés droites) et d'un sous-ensemble $R \subseteq \mathcal{P} \times \mathcal{L}$ satisfaisant les trois propriétés ci-dessous. On dit que la droite $\ell \in \mathcal{L}$ passe par le point $p \in \mathcal{P}$ (et que $p$ appartient à $\ell$) lorsque $(p,\ell) \in R$. L'ensemble $R$ encode donc quels points se situent sur quelles droites.
  1. Pour tous points $p_1 \neq p_2 \in \mathcal{P}$, il existe une unique droite $\ell \in \mathcal{L}$ passant par $p_1$ et $p_2$.
  2. Pour toutes droites $\ell_1 \neq \ell_2 \in \mathcal{L}$, il existe un unique point $p \in \mathcal{P}$ appartenant à $\ell_1$ et $\ell_2$.
  3. Il existe quatre points trois à trois non alignés (c'est-à-dire tels qu'aucune droite ne passe par trois d'entre eux).
Les propriétés les plus importantes sont les deux premières. La troisième est là pour éviter les cas triviaux. Par exemple, on peut imaginer une seule droite ($|\mathcal{L}| = 1$) et $n$ points ($|\mathcal{P}| = n$) appartenant tous à la droite ($R = \mathcal{P} \times \mathcal{L}$). Cet exemple vérifie les propriétés 1 et 2, mais on ne veut pas le considérer comme étant un plan projectif. C'est pour éviter ce genre de situation que la propriété 3 demande d'avoir au moins quatre points trois à trois non-alignés.

Plans projectifs finis

Le plan projectif réel, défini dans le nouveau chapitre, est infini au sens où il possède une infinité de points et une infinité de droites. Au contraire, nous nous intéressons ici aux plans projectifs finis, c'est-à-dire ceux où $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ sont finis. (À noter que si $\mathcal{P}$ est fini, alors $\mathcal{L}$ aussi, et vice versa.) En utilisant les axiomes des plans projectifs, on peut aisément montrer le fait suivant. (Pour ceux qui le désirent, c'est un bon exercice !)

Soit $\Pi = (\mathcal{P}, \mathcal{L}, R)$ un plan projectif fini. Alors il existe un nombre entier $q \geq 2$, appelé l'ordre de $\Pi$, tel que :
  • tout point de $\Pi$ appartient à exactement $q+1$ droites;
  • toute droite de $\Pi$ passe par exactement $q+1$ points;
  • $\Pi$ contient exactement $|\mathcal{P}| = q^2+q+1$ points;
  • $\Pi$ contient exactement $|\mathcal{L}| = q^2+q+1$ droites.
Il existe par exemple un plan projectif d'ordre $2$, il est représenté ci-dessous. Les $2^2+2+1=7$ points du plan projectif sont représentés par des points, et les $2^2+2+1$ droites sont représentées par des segments et courbes : ce sont les trois côtés du triangle, les trois hauteurs du triangle, et le cercle. On voit aussi que chaque point appartient à $2+1=3$ droites et chaque droite passe par $2+1=3$ points. On vérifie aisément que deux points appartiennent toujours à une même droite (unique) et que deux droites s'intersectent toujours en un unique point. Il s'agit donc bel et bien d'un plan projectif d'ordre $2$. (En fait, c'est le seul...)


Jeu Dobble

Le jeu Dobble est bien connu, et derrière ce jeu se cache en fait un plan projectif ! En effet, le jeu consiste en différentes cartes sur lesquelles sont dessinés $8$ symboles, et est tel que deux cartes possèdent toujours un unique symbole commun. On y voit facilement l'analogie avec les plans projectifs : les cartes peuvent être vues comme des droites, et les symboles comme des points. Il existe un plan projectif d'ordre $7$, ce qui signifie qu'on peu construire un jeu de $7^2+7+1=57$ cartes contenant chacune $7+1=8$ symboles (parmi $57$ symboles au total) tel que deux cartes ont toujours un unique symbole en commun. Par la propriété des plans projectifs, on sait aussi que pour toute paire de symboles, il existe une unique carte contenant ceux-ci (mais ça n'a pas d'intérêt pour le jeu). Malheureusement le vrai jeu Dobble n'est pas totalement satisfaisant, puisqu'il contient bien $57$ symboles mais ne contient que $55$ cartes ! Il y a donc deux cartes manquantes au jeu pour qu'il soit réellement un plan projectif d'ordre $7$. Si vous avez un jeu Dobble chez vous et un peu de temps à perdre, vous pouvez vous amuser à recomposer les deux cartes manquantes (en trouvant les symboles qu'elles doivent contenir).

Conjecture

La conjecture suivante est très ancienne, très facile à exprimer et il y a pourtant très peu de progrès dessus :

Conjecture : Soit $\Pi$ un plan projectif d'ordre $q$. Alors $q$ est la puissance d'un nombre premier.

Il a pu être vérifié qu'il n'existe aucun plan projectif d'ordre $6$ ou d'ordre $10$, mais on ne sait par exemple pas s'il existe un plan projectif d'ordre $12$ ! Autrement dit, on ignore s'il existe un jeu Dobble avec $12^2+12+1=157$ cartes et $157$ symboles, où chaque carte contient $12+1=13$ symboles et deux cartes ont toujours un unique symbole en commun. (Il n'est pas nécessaire ici de demander les propriétés 1 et 3 des plans projectifs : ce sont en fait des conséquences des hypothèses précédentes.)

La seule réponse partielle à cette conjecture est la suivante :

Théorème de Bruck-Ryser (1949) : S'il existe un plan projectif d'ordre $q$ avec $q \equiv 1 \text{ ou } 2 \pmod 4$, alors $q$ est la somme de deux carrés parfaits.

Ce théorème exclut par exemple les plans projectifs d'ordre $14$. Notez par contre que $2018 = 13^2+43^2$, donc le théorème ne s'applique pas à $q = 2018$. La question en titre de cette actualité n'a donc pas de réponse à ce jour : on ignore s'il existe un plan projectif d'ordre $2018$.

Que ceux que ça intéresse n'hésitent pas à plancher sur la conjecture et à remercier Mathraining au moment de la remise de la médaille Fields ! Bonne année 2018 !
Résultats de l'IMO 2017
1 août 2017 à 10h26
Les Olympiades Mathématiques Internationales (IMO en anglais) ont eu lieu du 16 au 23 juillet 2017 !

Rappelons que l'épreuve se déroule sur deux matinées : deux fois 4h30, et que les étudiants sont confrontés à trois problèmes chaque jour. Les premiers problèmes de chaque jour (P1/P4) sont supposés être plus simples que les deuxièmes problèmes (P2/P5), eux-mêmes étant plus simples que les derniers problèmes (P3/P6). Les problèmes de cette année peuvent être trouvés ici. Les quatre problèmes les plus difficiles (P2/P3/P5/P6) l'étaient particulièrement cette année, avec la palme pour le problème 3 qui n'a été résolu que par deux élèves sur 615 !

Environ un douzième des élèves remporte une médaille d'or, un sixième une médaille d'argent et un quart une médaille de bronze, ce qui signifie que la moitié des participants sont récompensés d'une médaille ($\frac 1{12}+\frac1 6 + \frac 1 4 = \frac1 2$). Chaque problème vaut $7$ points, et tout élève n'ayant pas obtenu de médaille mais avec une résolution parfaite à un problème obtient une mention honorable. Cette année il fallait 25 points pour obtenir une médaille d'or, 19 pour une médaille d'argent et 16 pour une médaille de bronze.

Les résultats belges sont les suivants.

\begin{array}{l|c|c}
& \text{Total} & \text{Récomp.} \\
\hline
\text{Savinien Kreczman} & 20 & \text{Argent} \\
\text{Rodrigue Haya Enriquez} & 17 & \text{Bronze} \\
\text{Indy Van Den Broeck} & 16 & \text{Bronze} \\
\text{Marie Peeters} & 14 & \text{Mention} \\
\text{Michaël Maex} & 9 & \text{Mention} \\
\text{Robbe Pincket} & 4 & \\
\hline
\text{Total} & 80
\end{array}


Voici également les résultats des étudiants inscrits sur Mathraining, qui ont participé à cette compétition sous un autre drapeau et qui ont rapporté au moins une mention. Merci à Damien Galant et Corentin Bodart de les avoir recensés.

\begin{array}{l|c|c}
& \text{Total} & \text{Récomp.} \\
\hline
\text{Baptiste Serraille} & 21 & \text{Argent} \\
\text{Yakob Kahane} & 19 & \text{Argent} \\
\text{Olivier Garçonnet} & 17 & \text{Bronze} \\
\text{Ilyes Hamdi} & 17 & \text{Bronze} \\
\text{Joachim Studnia} & 17 & \text{Bronze} \\
\text{Martin Rakovsky} & 16 & \text{Bronze} \\
\text{Abderrahim Hadj Brahim} & 14 & \text{Mention} \\
\text{Oliver Nick} & 14 & \text{Mention} \\
\text{Timothée Rocquet} & 14 & \text{Mention} \\
\text{Mamoun Ben Chekroun} & 13 & \text{Mention} \\
\text{Ilyas Lebleu} & 12 & \text{Mention} \\
\text{Abdeldjalil Hezouat} & 10 & \text{Mention} \\
\end{array}


Tous les résultats (et plein de statistiques, sur cette olympiade comme sur les précédentes) peuvent être trouvés sur le site officiel.

Félicitations à tout le monde ! Nous espérons que Mathraining pourra entraîner encore beaucoup d'étudiants pour l'IMO 2018 en Roumanie !

Graphique des corrections
28 juin 2017 à 15h30
Avant-hier, 100 étudiants différents se sont connectés sur le site !

Pour fêter cela, un nouveau graphique a été mis en place et permet de voir le nombre de solutions soumises dans le dernier mois. Celui-ci indique également combien parmi ces solutions étaient correctes/incorrectes, et combien doivent encore être corrigées par les correcteurs.

Pour ceux qui attendent avec impatience qu'une de leur solution soit corrigée, cette information permettra de savoir à peu près à quoi ressemble la "file d'attente" des soumissions en attente d'une correction.

Ce graphique se trouve sur la page Statistiques > Corrections (et on y retrouve aussi les noms des gentils correcteurs).

Le graphique ressemble aujourd'hui à ceci :

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