Concours > Concours #9

Description

Les jours se font longs, la température monte, l'atmosphère est parfaite pour sortir ... quoique ... plutôt résoudre des problèmes autour du feu. Ça tombe bien : on vous apporte des problèmes olympiques dans vos souliers ! Pendant huit jours consécutifs, nous vous proposerons une sélection de problèmes variés de la plus haute qualité !

Le concours est constitué de 8 (et oui, on n'arrête pas l'innovation :-P) problèmes disponibles pendant une semaine. Les 4 premiers exercices devraient être accessibles à tou.te.s, les 4 suivants étant sensiblement plus difficiles.


Organisateurs du concours : Corentin Bodart, Mathieu Bouget et Simon M..

Classement final

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Problèmes

Problème #1

Solutions acceptées du vendredi 20 mars 2020 à 16h00 au samedi 28 mars 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Introduisons une notation un peu particulière, la notation des puissances itérées de Knuth. On commence par noter $a^n=a\uparrow n$. Ensuite, on peut définir
\[ a \uparrow\uparrow n = \underbrace{a\uparrow (a\uparrow (a \uparrow \ldots \uparrow a))}_{n\text{ fois } a} = a^{a^{\dots^a}}.\] Par exemple, $4\uparrow\uparrow 3=4^{4^4}=4^{256}$. (On continuerait avec $a\uparrow\uparrow\uparrow n=a\uparrow\uparrow(a\uparrow\uparrow (a\uparrow\uparrow\ldots \uparrow\uparrow a))$, etc.)


Fixons maintenant $a=\sqrt[2020]{2020}$. Lequel des deux nombres $a\uparrow\uparrow 2020$ et $2020$ est le plus grand ?

Statistiques

Tenté par 46 personnes
Scores parfaits : 34
Origine du problème : Baltic Way 1992, Problème 7

Problème #2

Solutions acceptées du vendredi 20 mars 2020 à 16h00 au samedi 28 mars 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe vérifiant $AC \perp BD$. (Certains diront que $ABCD$ est orthodiagonal.)

  1. Prouver que $|AB|^2 +|CD|^2 = |BC|^2 +|DA|^2$.

  2. Soit $A'B'C'D'$ un autre quadrilatère convexe ayant les même longueurs de côtés (précisément
    $$|AB|=|A'B'|,\; |BC|=|B'C'|,\; |CD|=|C'D'|\;\;\text{et}\;\;|DA|=|D'A'|\;\text{).}$$ Montrer que $A'C'\perp B'D'$.

Statistiques

Tenté par 41 personnes
Scores parfaits : 28
Origine du problème : Dutch Mathematical Olympiad 1999, Round 2, Problème 4

Problème #3

Solutions acceptées du vendredi 20 mars 2020 à 16h00 au samedi 28 mars 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Existe-t-il une suite $a_1< a_2< a_3< \ldots$ de naturels telle que, pour tout naturel $k$, la suite
\[ a_1+k, a_2+k, a_3+k, \ldots \] contient un nombre fini (possiblement nul) de nombres premiers ?

Statistiques

Tenté par 35 personnes
Scores parfaits : 23
Origine du problème : KöMaL, Novembre 1998

Problème #4

Solutions acceptées du vendredi 20 mars 2020 à 16h00 au samedi 28 mars 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Soient $P_1$, $P_2$, ..., $P_{2n}$ les sommets d'un $2n$-gone régulier dans le désordre. Montrer que le $2n$-gone $P_1P_2\ldots P_{2n}$ (dans cet ordre : il s'agit donc d'un polygone croisé) possède deux côtés parallèles.

Statistiques

Tenté par 19 personnes
Scores parfaits : 10

Problème #5

Solutions acceptées du vendredi 20 mars 2020 à 16h00 au samedi 28 mars 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Soit $n\ge 3$ un entier. Considérons $f(x)$ et $g(x)$ deux polynômes à coefficients réels tels que les points
\[(f(1),g(1)), (f(2),g(2)),\ldots, (f(n),g(n)) \in \mathbb R^2\] soient les sommets d'un $n$-gone régulier (dans l'ordre). Prouver qu'au moins un des polynômes $f(x)$ et $g(x)$ est de degré supérieur ou égal à $n-1$.

Statistiques

Tenté par 19 personnes
Scores parfaits : 13
Origine du problème : Putnam Competition 2008, Problème A5

Problème #6

Solutions acceptées du vendredi 20 mars 2020 à 16h00 au samedi 28 mars 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle acutangle et $P$ un point intérieur. On considère les deux points symétriques du point $P$ par rapport aux côtés $AB$ et $AC$, ainsi que les deux points symétriques du point $P$ par rapport aux milieux des côtés $AB$ et $AC$. Supposons que ces quatre points soient deux à deux distincts.

Montrer que les $4$ points sont cocycliques si et seulement si $P$ se situe sur la hauteur issue de $A$.

Statistiques

Tenté par 20 personnes
Scores parfaits : 17
Origine du problème : Nordic Math Constest 2013, Problème 4

Problème #7

Solutions acceptées du vendredi 20 mars 2020 à 16h00 au samedi 28 mars 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Trouver tous les polynômes $P\in\mathbb R[X]$ tels que
$$P(x^2+x+1)= P(x)P(x+1) \qquad \text{pour tout $x\in\mathbb R$}.$$

Statistiques

Tenté par 30 personnes
Scores parfaits : 10
Origine du problème : Question d'oral pour Polytechnique

Problème #8

Solutions acceptées du vendredi 20 mars 2020 à 16h00 au samedi 28 mars 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

On considère un échiquier $11\times 11$. Le plateau est recouvert de $60$ dominos classiques de sorte que seule une case dans un coin reste libre. Un mouvement consiste à glisser un domino dans le sens longitudinal pour qu’il recouvre la case qui était libre auparavant. Ainsi, une nouvelle case (deux cases plus loin) se libère. Montrer qu’il existe une suite de mouvements permettant de déplacer la case libre dans n’importe quel autre coin de l'échiquier.

Statistiques

Tenté par 9 personnes
Scores parfaits : 4
Origine du problème : Olympiades Suisses de Mathématiques 2011, Sélection OMI, Problème 3