Concours > Concours #8

Description

Les jours se font courts, la température baisse, l'atmosphère est parfaite pour résoudre des problèmes autour du feu. Ça tombe bien : on vous apporte des problèmes d'algèbre dans vos souliers ! Pendant trois week-end consécutifs, nous vous proposerons une sélection d'inégalités, d'équations fonctionnelles et de polynômes de la plus haute qualité.

NB : Comme d'habitude, 2 problèmes par week-end, les problèmes impairs étant censés être plus accessibles que les problèmes pairs.

Organisateurs du concours : Corentin Bodart, Quentin Claus et Anis Z..

Classement final

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Problèmes

Problème #1

Solutions acceptées du vendredi 29 novembre 2019 à 16h00 au dimanche 1 décembre 2019 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Soient $0< a,b,c<4$ des réels tels que $abc=1$. Montrer que
\[ \frac1{1+a+b} + \frac1{1+b+c} + \frac1{1+c+a} \leqslant \frac1{4-a} + \frac1{4-b} + \frac1{4-c}. \]

Statistiques

Tenté par 26 personnes
Scores parfaits : 24

Problème #2

Solutions acceptées du vendredi 29 novembre 2019 à 16h00 au dimanche 1 décembre 2019 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ satisfaisant
\[ (y+1)f(x) + f\big(xf(y)+f(x+y)\big) = y \qquad\forall x,y\in\mathbb R. \]

Statistiques

Tenté par 25 personnes
Scores parfaits : 20
Origine du problème : Olympiades Suisses de Mathématiques 2015, Tour final, Problème 3

Problème #3

Solutions acceptées du vendredi 6 décembre 2019 à 16h00 au dimanche 8 décembre 2019 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Existe-t-il deux nombres réels $a< b$ tels que l'expression
\[ \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2\sqrt{x-1}} \] soit constante sur l'intervalle $[a,b]$ ?

Statistiques

Tenté par 41 personnes
Scores parfaits : 23
Origine du problème : Problemaths 2007-2008, Problème 2

Problème #4

Solutions acceptées du vendredi 6 décembre 2019 à 16h00 au dimanche 8 décembre 2019 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Soit $p$ un polynôme à coefficients réels. On définit par récurrence $p^1(x)=p(x)$ puis $p^{n+1}(x)=p(p^n(x))$ les itérées du polynôme $p$. Montrer que le polynôme
\[ p^{2020}(x) - 2p^{2019}(x) + p^{2018}(x) \] est divisible par $p(x)-x$.

Statistiques

Tenté par 27 personnes
Scores parfaits : 23
Origine du problème : Serbie-Monténégro Team Selection Test 2003

Problème #5

Solutions acceptées du vendredi 13 décembre 2019 à 16h00 au dimanche 15 décembre 2019 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Soient $a_1,a_2,\ldots, a_n$ des réels sommant à $0$, mais pas tous égaux à $0$. Montrer qu'il est possible de les réordonner comme $b_1,b_2,\ldots,b_n$ de sorte que
\[ b_1b_2 + b_2b_3 + \ldots +b_{n-1}b_n + b_n b_1 < 0. \]

Statistiques

Tenté par 15 personnes
Scores parfaits : 12
Origine du problème : Bay Area Mathematical Olympiad 2004, Problème 4

Problème #6

Solutions acceptées du vendredi 13 décembre 2019 à 16h00 au dimanche 15 décembre 2019 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Existe-t-il $A\ne B$ deux ensembles finis de naturels tels que
\[ \sum_{a\in A}a^m = \sum_{b\in B}b^m \] pour tout $m$ entier satisfaisant $0\le m\le 2019$ ?

Statistiques

Tenté par 7 personnes
Scores parfaits : 4
Origine du problème : Problème de Prouhet-Tarry-Escott