Concours > Concours #7

Description

Voici un concours spécialement concocté pour vous distraire pendant les vacances. On vous a réservé tout type de problèmes et on en a même modifié certains pour les rendre suffisamment croustillants pour les plus ambitieux d'entre vous ! Les problèmes sont triés par ordre de difficulté, à titre indicatif ;-).

Ne vous découragez surtout pas ! À part le problème $10$, tous les problèmes peuvent être considérés a priori comme élégants :-P. D'ailleurs, ils sont (quasi) tous faisables sans avoir beaucoup avancé sur le site !

Organisateurs du concours : Corentin Bodart et Anis Z..

Classement final

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Problèmes

Problème #1

Solutions acceptées du lundi 5 août 2019 à 12h00 au lundi 12 août 2019 à 12h00 (heures belges).

Énoncé

Soit $P$ un point du plan. Parmi tous les triangles $ABC$ avec $A$, $B$ et $C$ à distance $3$, $5$ et $7$ respectivement de $P$, on considère un triangle d'aire maximale.

Montrer que $P$ est l'orthocentre de $ABC$.

Remarque : Il n'est pas nécessaire de prouver qu'un tel triangle d'aire maximale existe bien.

Statistiques

Tenté par 19 personnes
Scores parfaits : 16
Origine du problème : Brazilian Mathematical Olympiad 1988, Problem 2

Problème #2

Solutions acceptées du lundi 5 août 2019 à 12h00 au lundi 12 août 2019 à 12h00 (heures belges).

Énoncé

Pour tout naturel $n>0$, notons $\sigma(n)$ la somme des diviseurs (positifs) de $n$. Montrer que
\[\sigma(1) + \sigma(2) + \ldots + \sigma(n) \leqslant n^2. \]

Statistiques

Tenté par 40 personnes
Scores parfaits : 36
Origine du problème : 104 Number Theory Problems, Problem 27

Problème #3

Solutions acceptées du lundi 5 août 2019 à 12h00 au lundi 12 août 2019 à 12h00 (heures belges).

Énoncé

Les nombres réels $x,y,a$ satisfont les équations suivantes :
\begin{align*}
x + y \hspace{2mm} & = a \\
x^3+y^3 & = a \\
x^5+y^5 & = a
\end{align*}Trouver toutes les valeurs possibles de $a$.

Statistiques

Tenté par 40 personnes
Scores parfaits : 25
Origine du problème : Olympiades Suisses de Mathématiques 2003, Sélection OMI, Problème 1

Problème #4

Solutions acceptées du lundi 5 août 2019 à 12h00 au lundi 12 août 2019 à 12h00 (heures belges).

Énoncé

On considère un cube et deux extrémités $A$ et $B$ de la diagonale d'une de ses faces. Un chemin est une suite de sommets du cube telle que, à chaque pas, on se déplace le long d'une arête du cube. Notons $a$ le nombre de chemins de longueur $2012$ commençant et terminant en $A$, et $b$ le nombre de chemins de longueur $2012$ commençant en $A$ et terminant en $B$.

Déterminer quel nombre parmi $a$ et $b$ est le plus grand.

Statistiques

Tenté par 25 personnes
Scores parfaits : 22
Origine du problème : Olympiades Suisses de Mathématiques 2012, Tour final, Problème 8

Problème #5

Solutions acceptées du lundi 5 août 2019 à 12h00 au lundi 12 août 2019 à 12h00 (heures belges).

Énoncé

Un polygone $P$ est dit inscrit dans un polygone $Q$ lorsque tous les sommets de $P$ se situent le long du périmètre de $Q$. De manière équivalente, on dira que $Q$ est circonscrit à $P$.

Pour chaque triangle $T$, trouver la plus grande constante $k(T)$ telle que, pour toute paire de rectangles $(C_1,C_2)$ avec $C_1$ inscrit dans $T$ et $C_2$ circonscrit à $T$, nous ayons l'inégalité
\[\frac{\mathcal A(C_2)}{\mathcal A(C_1)} \geqslant k(T)\] où $\mathcal A$ désigne l'aire du polygone en question.

Statistiques

Tenté par 17 personnes
Scores parfaits : 4
Origine du problème : Brazilian Mathematical Olympiad 2019, Problem 1 - Modifié

Problème #6

Solutions acceptées du lundi 5 août 2019 à 12h00 au lundi 12 août 2019 à 12h00 (heures belges).

Énoncé

Soit $n\geqslant3$ un entier. Soient $x_1,\ldots, x_n$ des réels vérifiant $0\leqslant x_i\leqslant 1$ pour tout $i$. Montrer que
\[ (x_1+x_2+ \ldots +x_n) - (x_1x_2+x_2x_3+ \ldots +x_{n-1}x_n+x_nx_1) \leqslant \left\lfloor\frac n2\right\rfloor \] et trouver les cas d'égalités.

Statistiques

Tenté par 20 personnes
Scores parfaits : 4
Origine du problème : Bulgarian Mathematical Olympiad 1995, Third Round, Problem 4

Problème #7

Solutions acceptées du lundi 5 août 2019 à 12h00 au lundi 12 août 2019 à 12h00 (heures belges).

Énoncé

Existe-il une fonction $f\colon\mathbb N_0\to\mathbb N_0$ satisfaisant
\[ f^{f(n)}(n) = n+1 \] pour tout naturel $n>0$ ?

Remarque : Ici, $f^k$ est la $k^\text{ième}$ itérée de $f$, c'est-à-dire $f^k(n)=\underbrace{f(f(\ldots(f}_{k\text{ copies de } f}(n))\ldots))$.

Statistiques

Tenté par 27 personnes
Scores parfaits : 13
Origine du problème : Functional Equations and How to Solve Them, Chapter 3, Problem 18

Problème #8

Solutions acceptées du lundi 5 août 2019 à 12h00 au lundi 12 août 2019 à 12h00 (heures belges).

Énoncé

Soient $m,n>1$ des entiers. On dispose de $p$ pièces réparties sur les cases d'un échiquier $m\times n$. On joue alors au jeu suivant :

À chaque tour, on déplace chacune des $p$ pièces dans une case adjacente à sa case précédente (selon un côté), en suivant deux conditions :
  • Si une pièce a été bougée verticalement lors d'un tour, elle doit être bougée horizontalement au tour suivant, et vice-versa.
  • Au début et à la fin de chaque tour, chaque case contient au plus une pièce.
  1. Quel est, en fonction de $m$ et $n$, le nombre maximal de pièces $p$ tel que ce jeu peut continuer indéfiniment ?
  2. Même question si l'on remplace l'échiquier par un échiquier cylindrique, pour lequel on aurait collé les côtés opposés de longueur $m$.

Statistiques

Tenté par 10 personnes
Scores parfaits : 4
Origine du problème : Olympiades Suisses de Mathématiques 2003, Sélection OMI, Problème 5 - Modifié

Problème #9

Solutions acceptées du lundi 5 août 2019 à 12h00 au lundi 12 août 2019 à 12h00 (heures belges).

Énoncé

Trouver les entiers $n>1$ tels que la somme des diviseurs de $kn-1$ soit divisible par $n$ pour tout entier $k\geqslant 1$.

Indice : On pourra utiliser le résultat suivant :

Théorème de Dirichlet (ou de la progression arithmétique)
Soient $a$ et $b$ des entiers premiers entre-eux. Il existe une infinité de nombres premiers de la forme $an+b$ avec $n$ entier.

Statistiques

Tenté par 12 personnes
Scores parfaits : 7
Origine du problème : Olympiades Suisses de Mathématiques 2012, Tour final, Problème 7 - Modifié

Problème #10

Solutions acceptées du lundi 5 août 2019 à 12h00 au lundi 12 août 2019 à 12h00 (heures belges).

Énoncé

Une forme linéaire en $k$ variables est une expression de la forme $P(x_1,\ldots,x_k)=a_1x_1+\ldots+a_kx_k$ pour des constantes réelles $a_1,...,a_k$. Prouver qu'il existe un entier $n$ et des formes linéaires $P_1,\ldots,P_n$ en $2019$ variables tels que l'équation
\[ x_1\cdot x_2\cdot \ldots \cdot x_{2019}=P_1(x_1,\ldots,x_{2019})^{2019}+\ldots+P_n(x_1,\ldots,x_{2019})^{2019} \] tienne pour tous réels $x_1,\ldots,x_{2019}$.

Statistiques

Tenté par 7 personnes
Scores parfaits : 5
Origine du problème : Baltic Way 2017, Problem 4