Concours > Concours #2

Description

Après le premier concours de Mathraining, voici un concours uniquement de théorie des nombres ! Il se base sur le même principe : six problèmes en tout, deux par week-end, les problèmes aux numéros impairs étant plus faciles que les problèmes aux numéros pairs. Ce concours est de niveau moyen pour pouvoir attirer le plus de monde possible.

Organisateurs du concours : Daniel Cortild, Théodore Fougereux et 四十二 The Game.

Classement final

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Problèmes

Problème #1

Solutions acceptées du vendredi 1 février 2019 à 12h00 au samedi 2 février 2019 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Soit $p \ge 3$ un nombre premier et soient $\{a_1,a_2,\ldots,a_p\}$ et $\{b_1,b_2,\ldots,b_p\}$ des permutations de $\{0,1,\dotso,p-1\}$. Montrer que parmi les $p$ nombres $a_1 b_1, a_2 b_2, \dotso, a_p b_p$ il en existe (au moins) deux donnant le même reste après division par $p$.

Statistiques

Tenté par 37 personnes
Scores parfaits : 23

Problème #2

Solutions acceptées du samedi 2 février 2019 à 16h00 au dimanche 3 février 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Montrer qu'il existe une infinité d'entiers strictement positifs qui ne peuvent pas être écrits sous la forme $$a^3+b^5+c^7+d^9+e^{11}$$ où $a,b,c,d,e$ sont des entiers strictement positifs.

Statistiques

Tenté par 17 personnes
Scores parfaits : 14
Origine du problème : Belarusian Mathematical Olympiad 2002, Problème 5

Problème #3

Solutions acceptées du vendredi 8 février 2019 à 12h00 au samedi 9 février 2019 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Montrer que pour chaque entier strictement positif $k$ il existe une progression arithmétique $$\frac{p_1}{q_1},\frac{p_2}{q_2},\ldots , \frac{p_k}{q_k}$$ de nombres rationnels, où $p_i$ et $q_i$ sont des entiers strictement positifs premiers entre eux pour tout $i \in \{1,2,\ldots,k\}$, telle que les $2k$ nombres $p_1,p_2,\ldots, p_k,q_1,q_2,\ldots, q_k$ soient tous distincts deux à deux.

Statistiques

Tenté par 16 personnes
Scores parfaits : 16
Origine du problème : Asian Pacific Mathematical Olympiad 2009, Problème 4

Problème #4

Solutions acceptées du samedi 9 février 2019 à 16h00 au dimanche 10 février 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f \colon \mathbb N_0\to \mathbb N_0$ telles que
$$af(a)+bf(b)+2ab$$ soit un carré parfait pour tous $a,b\in\mathbb N_0$.

Statistiques

Tenté par 8 personnes
Scores parfaits : 5
Origine du problème : Iran Team Selection Test 2011, Jour 4, Problème 3

Problème #5

Solutions acceptées du vendredi 15 février 2019 à 12h00 au samedi 16 février 2019 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Montrer qu'il existe un ensemble infini d'entiers positifs, tous de la forme $2^n-3$ avec $n$ entier positif, dont tous les éléments sont deux à deux premiers entre eux.

Statistiques

Tenté par 10 personnes
Scores parfaits : 9
Origine du problème : International Mathematical Olympiad 1971, Problème 3

Problème #6

Solutions acceptées du samedi 16 février 2019 à 16h00 au dimanche 17 février 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Trouver tous les couples $(p,q)$ de nombres premiers tels que $3p^{q-1}+1$ divise $11^p+17^p$.

Statistiques

Tenté par 3 personnes
Scores parfaits : 2
Origine du problème : Balkan Mathematical Olympiad 2018, Problème 4