Concours > Concours #3

Description

Ce troisième concours est bien différent des deux premiers puisqu'il sera question d'algèbre linéaire. Seule la connaissance des notions les plus élémentaires sera nécessaire pour participer. Les six problèmes, à résoudre durant les 10 premiers jours de mars, pourront divertir ceux ayant déjà ces connaissances mais également faire découvrir l'algèbre linéaire à ceux qui ne la connaîtraient pas encore. Les quelques notions à connaître sont par exemple expliquées ici et . Je remercie Nicolas Radu pour avoir rendu tout cela possible, en espérant que ce concours un peu particulier trouve des amateurs et amatrices ;-). D'avance, bonne chance à toutes et à tous !

Organisateur du concours : Damien Lefèvre.

Classement final

Le classement n'est visible que par les utilisateurs connectés.

Problèmes

Problème #1

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

On travaille dans $\mathbb{R}^n$, avec $n \ge 3$, et on désigne par $\mathrm{S}_n$ l'ensemble des permutations de $\{1,\ldots,n\}$. Pour tout $\sigma \in \mathrm{S}_n$, considérons l'application linéaire
$$\begin{alignat*}{2}
f_{\sigma} : \mathbb{R}^n& \to \mathbb{R}^n\\
(x_1, \ldots, x_n)& \mapsto (x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)}).
\end{alignat*}$$ Si $F_\sigma$ désigne l'ensemble des points fixes de $f_\sigma$, alors déterminer la dimension de $F_\sigma$ en fonction de $\sigma$ (et de ses propriétés).

Statistiques

Tenté par 9 personnes
Scores parfaits : 7

Problème #2

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Considérons maintenant l'application linéaire suivante :
$$\begin{alignat*}{2}
f : \mathbb{R}^n& \to \mathbb{R}^n\\
(x_1, \ldots, x_n)& \mapsto (x_n, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}).
\end{alignat*}$$ Pour $k \geq 1$, posons $f^k = \underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_\text{$k$ fois}$ et $F^k$ l'ensemble des points fixes de $f^k$. Déterminer la dimension de $F^k$ en fonction de $n$ et $k$.

Statistiques

Tenté par 8 personnes
Scores parfaits : 2

Problème #3

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Pour $v \in \mathbb{R}^n$, définissons $S_v$ comme le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ engendré par l'ensemble
$$\{f_{\sigma}(v)\ |\ \sigma \in \mathrm{S}_n\}.$$ Déterminer la dimension de $S_v$ en fonction de $v$.

Statistiques

Tenté par 5 personnes
Scores parfaits : 3

Problème #4

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Montrer que $S_v$ est également engendré par l'ensemble
$$\{f_{\sigma}(v)\ |\ \sigma \in \mathrm{A}_n\},$$ où $\mathrm{A}_n$ désigne l'ensemble des permutations paires de $\{1,\ldots,n\}$.

Statistiques

Tenté par 4 personnes
Scores parfaits : 2

Problème #5

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Soit $\mathscr{L}(\mathbb{R}^n)$ l'espace vectoriel (de dimension $n^2$) des applications linéaires de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^n$. Définissons $S$ comme le sous-espace vectoriel de $\mathscr{L}(\mathbb{R}^n)$ engendré par l'ensemble
$$\{f_{\sigma}\ |\ \sigma \in \mathrm{S}_n\}.$$ Déterminer la dimension de $S$.

Statistiques

Tenté par 3 personnes
Scores parfaits : 2

Problème #6

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Donner une base d'un supplémentaire de $S$ dans $\mathscr{L}(\mathbb{R}^n)$, puis dans le sous-espace vectoriel constitué des applications satisfaisant la propriété suivante : si la somme des coordonnées d'un vecteur est nulle, alors il en va de même pour son image.

Statistiques

Tenté par 1 personne
Scores parfaits : 1