Concours > Concours #18

Énoncé

Trouver tous les triplets de réels strictement positifs $(a,b,c)$ tels que
$$(a+b)\left(\frac 1b+\frac 1c\right)=(b+c)\left(\frac 1c+\frac 1a\right)=(c+a)\left(\frac 1a+\frac 1b\right)=4.$$

Énoncé

Trouver tous les entiers naturels $n \geqslant 3$ tels qu'il existe $n$ réels non nuls que l'on peut disposer sur un cercle de telle sorte que chacun d'entre eux soit la somme de ses deux voisins.

Énoncé

Trouver tous les couples d'entiers positifs ou nuls $(x,y)$ tels que :
$$x^4-6x^2+1=7\cdot 2^y.$$

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle dont tous les angles sont aigus, et $H$ son orthocentre. La tangente en $H$ au cercle circonscrit à $BHC$ coupe le cercle circonscrit à $ABC$ en $U$ et $V$. Montrer que $|AU| = |AV|$.

Énoncé

Au pays des lutins maléfiques, il y a un nombre pair d'habitants, et chacun a un nombre pair d'amis (personne n'est ami avec soi-même, et l'amitié est réciproque). Si Rémi est un habitant de ce pays, montrer qu’il existe un autre habitant qui a un nombre pair d'amis en commun avec Rémi.

Énoncé

Trouver tous les polynômes $P$ à coefficients entiers tels qu'il existe des entiers strictement positifs $a< b< c< d$ vérifiant la propriété suivante : pour tout entier strictement positif $k$, on a $P(ak)+P(bk)\ne0$ et
$$P(ak)+P(bk)\mid P(ck)+P(dk).$$

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles que
$$f(x^2-f(y)^2) = xf(x) -y^2 \ \text{ pour tous $x, y \in \mathbb{R}$.}$$

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle, et $D$ le pied de la bissectrice issue de $A$. Soient $\omega _1$ et $\omega _2$ les cercles passant par $A$ et de centres $B$ et $C$ respectivement. On note $E$ et $F$ les secondes intersections respectives de $\omega _1$ et $\omega _2$ avec $AD$. Soit $M$ le milieu de $[AF]$. On suppose que $E\neq M$ et on considère $\Gamma$ le cercle circonscrit au triangle $BEM$. On appelle $P$ la deuxième intersection de $\Gamma$ avec $\omega_1$. Montrer que le cercle circonscrit au triangle $PDF$ rencontre $\Gamma$ sur $BC$.

Énoncé

Un terrible drame vient de survenir au pays des lutins maléfiques : Nicolas le Renégat a enlevé les $n\geqslant 2$ lutins de la 1ère garnison ! Il compte utiliser son $2n-$gone régulier démoniaque pour en tuer le plus possible. Magnanime, il laisse les lutins choisir leurs positions sur les sommets du $2n-$gone (il doit y avoir au plus un lutin sur chaque sommet, et chaque lutin doit être sur un sommet). Puis Nicolas place une bombe à lutins sur chacun des $n$ sommets restés libres. Enfin, il choisit une droite $d$ passant par les milieux de deux côtés opposés du $2n-$gone régulier et chaque bombe à lutin est catapultée sur son symétrique par rapport à $d$. Chaque fois qu'une bombe atterrit sur un lutin, celui-ci meurt sur le coup. Les autres lutins peuvent repartir sains et saufs. En sachant que Nicolas est un sanguinaire qui cherche à tuer le plus de lutins possible, combien d'entre eux survivront au maximum ?

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Par exemple, pour $n=4$, si les lutins choisissent de se placer comme sur le schéma ci-dessous, Nicolas dispose de la droite $d$ marquée en rouge qui lui permet d'éradiquer tous les lutins ! Peut-être était-il possible pour eux de se positionner autrement sur l'octogone pour en sauver quelques-uns ?

Énoncé

Cher participant au Concours #18, l’équipe des organisateurs a besoin de vous ! Nous avons été trahis par Rémi qui s’est avéré être un lutin maléfique, et qui nous a enfermés dans une cellule de la prison magique dans laquelle vous vous trouvez. Dans cette prison, chaque cellule possède un numéro entier, et chaque entier strictement positif est le numéro d'une unique cellule. Dans la cellule $k$ se trouvent les clés des cellules $\varphi(k), \sigma(k)$ et $\tau(k)$. Nous vous transmettons de plus avec cette lettre la clé de la cellule $a\geqslant 2$ que nous avons réussi à subtiliser à Rémi.
En sachant que nous sommes cachés dans la cellule $b\geqslant 1$, montrez que vous pouvez nous sauver de l'infâme Rémi et nous vous récompenserons d'un généreux $7/7$ !

Vous aurez besoin des définitions des fonctions $\varphi$, $\sigma$ et $\tau$ afin de mener à bien votre mission. Pour tout entier $n\geqslant 2$, on note :

• $\varphi(n)$ le nombre d'entiers naturels inférieurs à $n$ qui sont premiers avec $n$ ;
• $\sigma(n)$ la somme des diviseurs positifs de l'entier $n$ ;
• $\tau(n)$ le nombre de diviseurs positifs de l'entier $n$.