Concours > Concours #15

Énoncé

Soit $n> 1$ un naturel tel que $\varphi(n)$ divise $n-1$.

1. Montrer que $n$ est squarefree, c'est-à-dire que le seul carré parfait divisant $n$ est $1$.
2. Montrer que soit $n$ est premier, soit $n$ possède au moins $3$ facteurs premiers distincts.

Bonus (ne rapportant pas de points) : Remplacer $3$ par $4$ dans le point 2.

Énoncé

Déterminer l'ensemble des quadruplets $(n,x,y,z)\in\mathbb N^4$ vérifiant $n\ge \max\{x+y,y+z,z+x\}$ et tels que le domaine suivant (à gauche) est pavable avec une quantité suffisante des trois "dominos" de droite.

Remarque : La condition $n\ge \max\{x+y,y+z,z+x\}$ est simplement là pour que le domaine soit bien défini.

Énoncé

Soit $(F_n)_{n\ge 1}$ la suite de Fibonacci, définie par $F_1=F_2=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ pour tout $n\ge 1$. Montrer que, pour tout $n \ge 1$, on a
$$\sqrt{F_{n}F_{n+3}} + \sqrt{F_{n+1}F_{n+4}} \le \sqrt{F_{n+2}F_{n+5}}.$$ Existe-t-il un $n \geq 1$ pour lequel cette inégalité est une égalité ?

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle et $O$ le centre de son cercle circonscrit. Notons $A'$, $B'$, $C'$ les symétriques de $O$ par rapport aux milieux de $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$ respectivement. Montrer que les droites $AA'$, $BB'$ et $CC'$ sont concourantes.

Énoncé

Soient $a_1,a_2,\ldots,a_n$ des entiers formant une progression arithmétique (dans l'ordre). On suppose que $i$ divise $a_i$ pour $i\in\{1,2,\ldots,n-1\}$, mais que $n$ ne divise pas $a_n$. Montrer que $n$ est une puissance d'un nombre premier.

Énoncé

Tom joue à un solitaire sur une grille $n\times n$, initialement vide. Tour à tour, il remplit une case avec un $X$, compte le nombre de $X$ déjà présents sur la ligne et la colonne du nouveau $X$, et rajoute ce nombre à son total. Combien de points accumulera Tom une fois la grille remplie, au maximum ?

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle acutangle. Notons $D$ et $E$ les pieds des hauteurs issues de $B$ et $C$ respectivement, ainsi que $M$ le milieu de $[BC]$. La droite $AM$ intersecte les cercles circonscrits aux triangles $ADE$ et $ABC$ en $P$ et $Q$ respectivement. Montrer que $MP=MQ$.

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f\colon \mathbb R^+_0 \to \mathbb R^+_0$ telles que
\[ f(x)f\big(yf(x)\big) = f(x + y) \ \text{ pour tous }x,y>0.\]

Énoncé

Alice et Bob jouent à un jeu consistant à retirer alternativement des jetons d'une pile comptant initialement $2021$ jetons. Au premier tour, Alice retire un nombre non-nul de jetons, mais pas tous. Par la suite, chaque joueur peut prendre au plus le double du nombre de jetons retiré par l'adversaire au tour précédent. Le joueur prenant le dernier jeton gagne. Déterminer qui de Alice ou Bob possède une stratégie gagnante.

Énoncé

Soit $n \geq 2$ un entier. Un sous-ensemble $S$ de $\{0,1,..,n-1\}$ est dit $d$-couvrable s'il existe un polynôme $P$ à coefficients entiers et de degré au plus $d$ tel que
$$S = \{ P(k)\pmod n \mid k \in \mathbb Z\}.$$ Pour chaque $n \geq 2$, trouver le plus petit $d$ tel que tout sous-ensemble non-vide de $\{0,1,..,n-1\}$ soit $d$-couvrable, ou prouver qu'aucun tel $d$ n'existe.

Remarque : Des résultats partiels pour certaines familles infinies de $n$ pourront déjà être récompensés.