Concours > Concours #14

Description

Ce concours sera le premier au terme duquel des médailles et mentions honorables (virtuelles) seront distribuées aux participants ! Dix problèmes seront proposés, recouvrant les quatre matières principales et dans un ordre croissant de difficulté. Les premiers problèmes seront très abordables, pour qu'un maximum de personnes puissent profiter de ce concours, et les derniers problèmes seront bien plus compliqués, afin de départager les meilleurs.

J'espère que ce concours vous divertira pendant ces vacances de fin d'année, et vous fera terminer 2020 sur une bonne note :-)

Organisateur du concours : 11Nicolas Radu.

Problème #1

Solutions acceptées du mardi 22 décembre 2020 à 10h00 au jeudi 24 décembre 2020 à 18h00 (heures belges).
Énoncé
Trouver tous les nombres premiers qui peuvent s'écrire à la fois comme une somme de deux nombres premiers et une différence de deux nombres premiers.
Statistiques
Tenté par 150 personnes
Scores parfaits : 124
Origine du problème : 250 Problems in Elementary Number Theory, Problème 75

Problème #2

Solutions acceptées du mercredi 23 décembre 2020 à 10h00 au vendredi 25 décembre 2020 à 18h00 (heures belges).
Énoncé
Mélanie a écrit les nombres $1, 2, \ldots, 2020$ au tableau. Elle choisit deux nombres $x$ et $y$ sur le tableau, les efface, et écrit le nombre $|x-y|$. Elle répète cette opération $2019$ fois, jusqu'à ce qu'il n'y ait plus qu'un seul nombre sur le tableau.
  1. Est-il possible que ce nombre soit $0$ ?
  2. Est-il possible que ce nombre soit $1$ ?
Statistiques
Tenté par 137 personnes
Scores parfaits : 120
Origine du problème : Kosovo Mathematical Olympiad 2011, Problème 3 (modifié)

Problème #3

Solutions acceptées du jeudi 24 décembre 2020 à 10h00 au samedi 26 décembre 2020 à 18h00 (heures belges).
Énoncé
Soit $ABC$ un triangle dont le centre du cercle circonscrit est noté $O$ et l'orthocentre est noté $H$. Soient $E$ et $F$ les pieds des hauteurs issues de $B$ et $C$ respectivement. Soient $B'$ le symétrique de $B$ par rapport à $E$ et $C'$ le symétrique de $C$ par rapport à $F$. Montrer que $HB'AC'$ est un parallélogramme si et seulement si $HEOF$ est un parallélogramme.
Statistiques
Tenté par 86 personnes
Scores parfaits : 30
Origine du problème : Junior Olympiad of Malaysia 2015 Shortlist, Problème G1 (modifié)

Problème #4

Solutions acceptées du vendredi 25 décembre 2020 à 10h00 au dimanche 27 décembre 2020 à 18h00 (heures belges).
Énoncé
Soit $f : \mathbb R \to \mathbb R$ une fonction telle que $f(0) = \frac 1 2$ et
$$f(x+y) = f(x)f(5-y) + f(5-x)f(y) \ \ \text{pour tous $x, y \in \mathbb R.$}$$ Prouver que $f$ est constante.
Statistiques
Tenté par 131 personnes
Scores parfaits : 97
Origine du problème : Functional Equations, Reid Barton, MOP 2006

Problème #5

Solutions acceptées du samedi 26 décembre 2020 à 10h00 au lundi 28 décembre 2020 à 18h00 (heures belges).
Énoncé
Sur un cercle sont placés $100$ nombres entiers. Lorsqu'on lit ces nombres dans le sens horlogique, on constate que chaque nombre est strictement supérieur à la somme des deux nombres suivants. Combien y a-t-il de nombres strictement positifs, au maximum ?
Statistiques
Tenté par 91 personnes
Scores parfaits : 60
Origine du problème : All-Russian Mathematical Olympiad 2015, Grade 9, Jour 2, Problème 1

Problème #6

Solutions acceptées du dimanche 27 décembre 2020 à 10h00 au mardi 29 décembre 2020 à 18h00 (heures belges).
Énoncé
Trouver tous les nombres naturels $n$ ayant au moins $4$ diviseurs positifs et tels que la somme des puissances $2020^\text{èmes}$ des $4$ plus petits diviseurs positifs de $n$ est égale à $n$.

(Note : l'utilisation de WolframAlpha est exceptionnellement autorisée pour faciliter certains calculs si nécessaire.)
Statistiques
Tenté par 85 personnes
Scores parfaits : 57
Origine du problème : 1220 Number Theory Problems, Problème 934 (modifié)

Problème #7

Solutions acceptées du lundi 28 décembre 2020 à 10h00 au mercredi 30 décembre 2020 à 18h00 (heures belges).
Énoncé
Soit $a \geq 0$ un nombre réel. On définit la suite $x_0, x_1, x_2, \ldots$ par $x_0 = a$ et
$$x_{n+1} = \lfloor x_n \rfloor \{ x _n \} + 1$$ pour tout $n \geq 0$, où $\lfloor x \rfloor$ désigne la partie entière de $x$ et $\{x\}$ la partie décimale de $x$ (c'est-à-dire $x - \lfloor x \rfloor$). La suite $x_0, x_1, x_2, \ldots$ devient-elle toujours constante ?
Statistiques
Tenté par 100 personnes
Scores parfaits : 61
Origine du problème : IMO Shortlist 2006, Algèbre, Problème 1 (modifié)

Problème #8

Solutions acceptées du mardi 29 décembre 2020 à 10h00 au jeudi 31 décembre 2020 à 18h00 (heures belges).
Énoncé
Soit $ABC$ un triangle acutangle dont l'orthocentre est noté $H$. Soit $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre $[AH]$ et soit $\mathcal{C}'$ un cercle passant par $B$ et $C$ et intersectant $\mathcal{C}$ en deux points distincts $X$ et $Y$. Notons $D$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$, et $P$ la projection de $D$ sur la droite $XY$. Prouver que la droite $PD$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{BPC}$.
Statistiques
Tenté par 38 personnes
Scores parfaits : 21
Origine du problème : Japan Mathematical Olympiad 2013, Final, Problème 4

Problème #9

Solutions acceptées du mercredi 30 décembre 2020 à 10h00 au samedi 2 janvier 2021 à 18h00 (heures belges).
Énoncé
Trouver tous les $n \geq 3$ tels qu'il existe, dans le plan cartésien, un polygone strictement convexe $P_1P_2\ldots P_n$ dont les $n$ sommets $P_1, P_2, \ldots, P_n$ ont des coordonnées entières et dont les $n$ côtés $[P_1P_2], [P_2P_3], \ldots, [P_nP_1]$ ont des longueurs qui sont des nombres entiers impairs deux à deux distincts.
Statistiques
Tenté par 45 personnes
Scores parfaits : 19
Origine du problème : China Team Selection Test, Quiz 6, Problème 3

Problème #10

Solutions acceptées du jeudi 31 décembre 2020 à 10h00 au dimanche 3 janvier 2021 à 18h00 (heures belges).
Énoncé
Existe-t-il deux nombres rationnels non-nuls $a$ et $b$ tels que
$$a + b = 4 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ \ \text{?}$$
Statistiques
Tenté par 45 personnes
Scores parfaits : 5
Origine du problème : Korea Mathematical Olympiad 2016, Final, Problème 3