Concours > Concours #13

Description

Pour ne pas perdre le rythme pendant l'été, nous vous proposons un grand concours composé de $10$ problèmes, couvrant tous les thèmes olympiques. Le concours aura lieu pendant $10$ jours. Tous les deux jours, deux nouveaux problèmes seront publiés et resteront disponibles pendant deux jours. Allez-vous triompher brillamment de la horde menaçante de problèmes que vous croiserez, ou succomberez-vous dans une récurrence sans fin ?

Pour chaque série, les problèmes proposés seront classés par ordre croissant de difficulté, et la difficulté augmentera progressivement tous les deux jours, pour passer de problèmes très abordables les premiers jours à des problèmes difficiles ensuite, même très difficiles pour les trois derniers problèmes (ne soyez pas effrayés par le dixième :-P). Seuls les meilleurs parviendront à en venir à bout, alors êtes-vous prêts à relever le défi ?

Nous souhaitons bon courage à tous les hardis combattants qui se risquent dans les jungles de ce concours, et espérons qu'ils prendront le plus de plaisir possible ! :-D

Organisateurs du concours : Mano Etilé et Quentin Hurez.

Classement final

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Problèmes

Problème #1

Solutions acceptées du dimanche 12 juillet 2020 à 14h00 au mardi 14 juillet 2020 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Soient $x$, $y$ et $z$ les longueurs des côtés d'un triangle. Montrer que
$$\sqrt{x+y-z}+\sqrt{y+z-x}+\sqrt{z+x-y} \le \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z},$$ et déterminer quand l'égalité a lieu.

Statistiques

Tenté par 43 personnes
Scores parfaits : 31
Origine du problème : Asian Pacific Mathematics Olympiad 1996, Problème 5

Problème #2

Solutions acceptées du dimanche 12 juillet 2020 à 14h00 au mardi 14 juillet 2020 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Sur un échiquier $8 \times 8$, on souhaite placer des cavaliers de sorte que, quels que soient les six cavaliers que l'on considère, il y en a au moins deux qui s'attaquent mutuellement.

Quel est le nombre maximal de cavaliers que l'on peut placer ?

Statistiques

Tenté par 28 personnes
Scores parfaits : 22
Origine du problème : Caucasus Mathematical Olympiad 2018, Junior, Problème 2

Problème #3

Solutions acceptées du mardi 14 juillet 2020 à 14h00 au jeudi 16 juillet 2020 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Pour tout entier $n \geq 1$, on définit $a_n$ comme le reste de la division euclidienne de $n^{n^n}$ par $10$. La suite $a_1, a_2, a_3, \ldots$ est-elle périodique ?

Statistiques

Tenté par 36 personnes
Scores parfaits : 31
Origine du problème : 250 Problems in Elementary Number Theory, Problème 213

Problème #4

Solutions acceptées du mardi 14 juillet 2020 à 14h00 au jeudi 16 juillet 2020 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Trouver tous les polynômes $P$ à coefficients dans $\mathbb Q$ qui sont surjectifs de $\mathbb Q$ dans $\mathbb Q$, c'est-à-dire tels que tout $y \in \mathbb{Q}$ s'écrive comme $y = P(x)$ pour au moins un $x \in \mathbb{Q}$.

Statistiques

Tenté par 30 personnes
Scores parfaits : 20

Problème #5

Solutions acceptées du jeudi 16 juillet 2020 à 14h00 au samedi 18 juillet 2020 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Andy possède un sac de $n \geq 1$ jetons, chacun ayant une face blanche et une face noire. Il se bande les yeux et dispose les jetons les uns après les autres, en ligne droite. Après avoir posé les $n$ jetons, il enlève son bandeau et observe le résultat. Quelle est la probabilité qu'il y ait, quelque part dans la ligne, un nombre impair de jetons noirs consécutifs situés entre deux jetons blancs ?

Statistiques

Tenté par 21 personnes
Scores parfaits : 15
Origine du problème : Créé par un organisateur

Problème #6

Solutions acceptées du jeudi 16 juillet 2020 à 14h00 au samedi 18 juillet 2020 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f \colon \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ telles que
$$f\left(x^2+y+f(xy)\right)=3+\left(x+f(y)-2\right)f(x) \quad \text{pour tous $x, y \in \mathbb Q$.}$$

Statistiques

Tenté par 18 personnes
Scores parfaits : 12
Origine du problème : Ukraine Team Selection Test 2007, Problème 7

Problème #7

Solutions acceptées du samedi 18 juillet 2020 à 14h00 au lundi 20 juillet 2020 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle avec $|AB| \ne |AC|$, dont on note le cercle circonscrit $\Gamma$. Soit $I$ le centre de son cercle inscrit, $H$ son orthocentre, $M$ le milieu de $[BC]$, et $\ell$ la bissectrice extérieure de $\widehat{BAC}$. La droite $\ell$ intersecte $\Gamma$ une seconde fois en $N$. La droite $NI$ intersecte $AH$ en $P$ et $BC$ en $X$. La droite $MI$ intersecte $AH$ en $Q$ et $\ell$ en $Y$. Montrer que les points $P$, $X$, $Q$ et $Y$ sont cocycliques.

Statistiques

Tenté par 5 personnes
Scores parfaits : 4
Origine du problème : Créé par un organisateur

Problème #8

Solutions acceptées du samedi 18 juillet 2020 à 14h00 au lundi 20 juillet 2020 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Trouver tous les couples $(a,b)$ avec $a, b \in \mathbb Z$ vérifiant
$$(a-3)\cdot (a+3)=b\cdot (7a-b).$$ Expliciter ceux pour lesquels les deux membres de cette égalité ne sont pas divisibles par $7$.

Statistiques

Tenté par 15 personnes
Scores parfaits : 8
Origine du problème : Créé par les organisateurs

Problème #9

Solutions acceptées du lundi 20 juillet 2020 à 14h00 au mercredi 22 juillet 2020 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Un $(a,b)$-tournoi (avec $a, b \geq 1$) est un tournoi constitué de $a$ joueurs et se déroulant sur $b$ jours, respectant les règles suivantes :
  • Chaque joueur joue une fois par jour et deux joueurs se rencontrent au plus une fois.
  • Si au $k^\text{ème}$ jour le joueur $A$ rencontre le joueur $B$ et le joueur $C$ rencontre le joueur $D$, et si au $\ell^\text{ème}$ jour le joueur $A$ rencontre le joueur $C$, alors au $\ell^\text{ème}$ jour le joueur $B$ rencontre le joueur $D$.
Trouver toutes les paires $(a,b)$ pour lesquelles il existe un $(a,b)$-tournoi.

Statistiques

Tenté par 9 personnes
Scores parfaits : 6
Origine du problème : IMO Shortlist 2006, Combinatoire, Problème 5

Problème #10

Solutions acceptées du lundi 20 juillet 2020 à 14h00 au mercredi 22 juillet 2020 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle qui n'est pas rectangle et dont le cercle circonscrit est noté $\Gamma$. Soit $O$ le centre de $\Gamma$ et $H$ l'orthocentre du triangle. On considère des points $A'$, $B'$, et $C'$ sur $BC$, $CA$, et $AB$ respectivement tels que $A,O,B',C'$ sont cocycliques, $C,O,A',B'$ sont cocycliques et $B,O,C',A'$ sont cocycliques.
Soit $d_A$ l'axe radical du cercle de centre $C'$ passant par $B$ et du cercle de centre $B'$ passant par $C$. On définit les droites $d_B$ et $d_C$ de façon analogue.
Montrer que $H$ est l'orthocentre du triangle formé par les droites $d_A,d_B$ et $d_C$.

Statistiques

Tenté par 3 personnes
Scores parfaits : 1
Origine du problème : Iran Team Selection Test 2012, Exam 3, Jour 2, Problème 6