Concours > Concours #10

Description

Dans cette période de confinement, on vous propose un petit concours pour occuper vos journées. Dix problèmes sur des thèmes variés vous seront proposés (sans géométrie bien évidemment :-P), et chaque problème restera ouvert aux soumissions pendant quatre jours.

À partir de lundi, vous aurez accès tous les jours à deux problèmes supplémentaires, le premier étant plus abordable que le second (sauf le dernier jour où les deux seront difficiles 3:[). Amusez-vous bien et bon courage !

Organisateurs du concours : Emile Averous, Alexandre Camelin, Corentin S. et Adrien Tousnakhoff.

Classement final

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Problèmes

Problème #1

Solutions acceptées du lundi 20 avril 2020 à 16h00 au vendredi 24 avril 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Soit $n$ un entier strictement positif et $a$ un entier premier avec $n$. Montrer que $a^{n!}-1$ est divisible par $n$.

Statistiques

Tenté par 103 personnes
Scores parfaits : 96
Origine du problème : X. Gourdon - Les maths en tête

Problème #2

Solutions acceptées du lundi 20 avril 2020 à 16h00 au vendredi 24 avril 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Trouver tous les nombres $n \in \mathbb{N}_0$ tels que
$$5\cdot \sigma(n) = 6n-13,$$ où $\sigma(n)$ désigne la somme des diviseurs positifs de $n$.

Statistiques

Tenté par 58 personnes
Scores parfaits : 40

Problème #3

Solutions acceptées du mardi 21 avril 2020 à 16h00 au samedi 25 avril 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on note $\{x\}$ la partie fractionnaire de $x$, c'est-à-dire $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ où $\lfloor x\rfloor$ est la partie entière de $x$. Trouver tous les réels $x > 0$ tel que $\{x\}=\left\{\frac1x\right\}$.

Statistiques

Tenté par 67 personnes
Scores parfaits : 52

Problème #4

Solutions acceptées du mardi 21 avril 2020 à 16h00 au samedi 25 avril 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Trouver toutes les fonctions continues $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que
$$f(f(x))=\frac{f(x)+x}2\ \text{ pour tout } x\in \mathbb{R}$$

Statistiques

Tenté par 50 personnes
Scores parfaits : 24

Problème #5

Solutions acceptées du mercredi 22 avril 2020 à 16h00 au dimanche 26 avril 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Soient $a,b,c$ trois nombres réels tels que
$$\left\{\begin{align}
a+b+c &> 0\\
ab+bc+ca &> 0\\
abc &> 0
\end{align}\right.$$ Montrer que $a, b, c$ sont tous les trois strictement positifs.

Statistiques

Tenté par 86 personnes
Scores parfaits : 81
Origine du problème : Solutions d'expert tome 2

Problème #6

Solutions acceptées du mercredi 22 avril 2020 à 16h00 au dimanche 26 avril 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Montrer que pour une infinité d'entiers positifs $n$, l'écriture décimale de $2^n$ commence par $7$.

Statistiques

Tenté par 47 personnes
Scores parfaits : 24

Problème #7

Solutions acceptées du jeudi 23 avril 2020 à 16h00 au lundi 27 avril 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Déterminer la valeur minimale que peut prendre l'expression
$$S=\sqrt{(a+25)^2+2(b+3)^2+(c+49)^2}+\sqrt{(b+25)^2+2(c+3)^2+(d+49)^2}+\sqrt{(c+25)^2+2(d+3)^2+(a+49)^2}+\sqrt{(d+25)^2+2(a+3)^2+(b+49)^2}$$ lorsque $a,b,c,d \in \mathbb R$.

Statistiques

Tenté par 44 personnes
Scores parfaits : 31

Problème #8

Solutions acceptées du jeudi 23 avril 2020 à 16h00 au lundi 27 avril 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Soit $M \geq 1$ un entier et soit $A_1, A_2, \ldots, A_s$ une famille de sous-ensembles de $\{1, \ldots, M\}$ telle que $A_i \not \subseteq A_j$ pour tout $i \neq j$. Montrer que
$$\displaystyle\sum_{i=1}^s\frac1{\binom{M}{a_i}}\leq 1,$$ où $a_i = |A_i|$ pour tout $i \in \{1, \ldots, s\}$.

Statistiques

Tenté par 30 personnes
Scores parfaits : 20
Origine du problème : Olympiades russes 1987

Problème #9

Solutions acceptées du vendredi 24 avril 2020 à 16h00 au mardi 28 avril 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Soit $n \in \mathbb{N}_0$. Montrer que $n$ est impair si et seulement si $n$ divise $1^n + 2^n + \ldots + n^n$.

Statistiques

Tenté par 48 personnes
Scores parfaits : 35
Origine du problème : RMS n°130 (oral X)

Problème #10

Solutions acceptées du vendredi 24 avril 2020 à 16h00 au mardi 28 avril 2020 à 16h00 (heures belges).

Énoncé

Soit $A$ un ensemble fini d'entiers naturels non nuls. Prouver qu'il existe un ensemble fini $B$ tel que $A\subseteq B\subseteq \mathbb{N}_0$ et

$$\displaystyle \prod_{x\in B}x =\sum_{x\in B}x^2$$

Statistiques

Tenté par 23 personnes
Scores parfaits : 19
Origine du problème : Olympiades iraniennes 1995