$\begingroup$Voici les énoncés plus rigoureux des différentes versions du principe des tiroirs.
Le principe des tiroirs
Le principe des tiroirs sous sa forme la plus simple est le suivant :
Principe des tiroirs
Si $n+1$ éléments doivent être placés dans $n$ ensembles, alors il existe au moins un ensemble qui contient au moins $2$ éléments.
Démonstration
Par l'absurde, si tous les ensembles contiennent $0$ ou $1$ élément, alors le nombre d'éléments est inférieur ou égal à $n$.
Ceux qui connaissent la notion de
fonction injective peuvent comprendre que le principe des tiroirs est équivalent à la propriété suivante.
Le principe des tiroirs généralisé
On peut généraliser ce principe comme suit :
Principe des tiroirs généralisé
Si $n$ éléments doivent être placés dans $k$ ensembles, alors il existe au moins un ensemble qui contient au moins $\left\lceil\frac{n}{k}\right\rceil$ éléments.
Note : $\lceil x\rceil$ désigne la partie entière supérieure, soit le plus petit entier supérieur ou égal à $x$, ou l'unique entier tel que $\lceil x\rceil -1< x \leq \lceil x\rceil$.
Démonstration
Par l'absurde, supposons que chaque ensemble contienne au maximum $\left\lceil\frac{n}{k}\right\rceil-1$ éléments. Par définition de la partie entière supérieure, nous avons $\left\lceil\frac{n}{k}\right\rceil-1 < \frac{n}{k}$, donc le nombre maximum d'éléments est
$$k\cdot\left(\left\lceil\frac{n}{k}\right\rceil-1\right) < k\cdot \frac{n}{k} = n.$$
Le principe des tiroirs infini
Il existe aussi une version du principe des tiroirs dans le cas où on a une infinité d'éléments :
Principe des tiroirs infini
Si une infinité d'éléments doivent être placés dans $n$ ensembles, alors il existe au moins un ensemble qui contient une infinité d'éléments.
Démonstration
Par l'absurde, si chaque ensemble contient un nombre fini d'éléments, alors il ne peut y avoir qu'un nombre fini d'éléments au total, ce qui contredit le fait qu'il y en a une infinité.
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