Techniques élémentaires de preuves

Général

Points théoriques

Preuve directe Preuve par contraposition Preuve par l'absurde Preuve par récurrence

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Exercice 4 (Résolu 623 fois - 27% de réussite au premier essai)
(Résolu 623 fois -
27% de réussite au 1^er essai)

Un énoncé demande de prouver que si $P(n)$ est vrai pour tout $n \in \mathbb N$, alors $Q(n)$ est également vrai pour tout $n \in \mathbb N$. Lesquelles des méthodes suivantes, si elles fonctionnent, permettent de prouver cet énoncé ?

Cochez chaque proposition correcte.

Montrer que $P(n) \Rightarrow Q(n)$ pour tout $n \in \mathbb N$

Supposer qu'il existe $n$ tel que $Q(n)$ est faux et montrer que $P(m)$ est faux pour un certain $m \in \mathbb N$

Montrer que $Q(0)$ est vrai et prouver que $(P(n) \text{ et } Q(n)) \Rightarrow Q(n+1)$ pour tout $n \in \mathbb N$

Supposer que $P(n)$ est vrai pour tout $n \in \mathbb N$ et $Q(n)$ est faux pour tout $n \in \mathbb N$ et trouver une contradiction

Montrer que $Q(0)$ est vrai, puis supposer qu'il existe $n \in \mathbb N$ tel que $P(n)$ est vrai mais $Q(n)$ et $Q(n+1)$ sont faux et trouver une contradiction

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Exercices

Exercice 4 (Résolu 623 fois - 27% de réussite au premier essai) (Résolu 623 fois - 27% de réussite au 1er essai)

Exercice 4 (Résolu 623 fois - 27% de réussite au premier essai)
(Résolu 623 fois -
27% de réussite au 1^er essai)