Théorie > Fondements > Ensembles, symboles et notations

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Résumé

Ce chapitre est tout d'abord consacré à la notion fondamentale d'ensemble, apparaissant dans toutes les branches des mathématiques. Les ensembles particuliers comme $\mathbb{N}$ et $\mathbb{R}$ sont ensuite définis et la signification des différents symboles tels que $\in$, $\subseteq$, $\cap$, $\forall$, $\exists$, $\sum$, $\prod$ est donnée.


Ce chapitre a été écrit par B. Legat et mis en ligne le 8 décembre 2014.

1. Ensembles

Un ensemble est une notion mathématique particulière qu'il n'est pas facile de définir rigoureusement. Pour l'usage que nous en ferons, nous pouvons nous contenter de dire qu'il s'agit d'une collection d'objets. Un ensemble sépare donc tous les objets en deux parties : ceux qui appartiennent à cet ensemble (alors appelés éléments de l'ensemble), et ceux qui n'y appartiennent pas.
Le fait que l'élément $a$ appartienne à l'ensemble $A$ s'écrit simplement $a \in A$.

Il existe deux façons de définir un ensemble particulier :
  • On peut le définir en extension, ce qui signifie que l'on donne directement la liste de ses éléments entre accolades. Par exemple $A = \left\{1, 2, 3\right\}$ signifie que $1, 2, 3 \in A$ et qu'aucun autre objet n'appartient à $A$.
  • On peut également le définir en compréhension, ce qui veut dire que l'on donne une propriété caractérisant les éléments de l'ensemble. Par exemple, on peut définir $B$ comme l'ensemble des entiers strictement positifs. On peut également définir $C$ comme l'ensemble des éléments de $B$ qui sont inférieurs ou égaux à $5$ en écrivant :
    $$C = \left\{ x \in B \mid x \leq 5 \right\}$$

Ordre et répétitions

La notation entre accolades peut donner l'impression que l'ordre dans lequel les éléments sont énoncés a de l'importance, ou aussi qu'un élément peut appartenir deux fois à l'ensemble. Cela n'est cependant pas vrai. L'ordre dans lequel on écrit les éléments n'importe pas, et écrire deux fois un même élément revient à ne l'écrire qu'une seule fois. On a donc par exemple :
$$\{1,2,3\} = \{2,3,1\} = \{1,1,3,2\}$$ Une bonne façon de retenir ce fait est de se rappeler que ce qui nous intéresse est de savoir si un élément appartient à l'ensemble ou non.

Notions courantes

  1. Un ensemble peut être soit fini, c'est-à-dire qu'il possède un nombre fini d'élément, soit infini.
    Si l'ensemble $A$ est fini, son nombre d'éléments est appelé cardinal et on le note $\#A$ ou $|A|$.

  2. On peut aussi définir la relation d'inclusion entre deux ensembles. Un ensemble est inclus dans un autre si tous les éléments appartenant au premier appartiennent également au second.
    L'inclusion de $A$ dans $B$ s'écrit $A \subseteq B$. On écrit aussi $A \subset B$ lorsque $A \subseteq B$ et que $A \neq B$. (NB : Cette dernière notation n'est pas utilisée par tous et il arrive que certains auteurs écrivent $A \subset B$ alors qu'ils signifient $A \subseteq B$. Cela-dit, cette confusion possible ne porte généralement pas à conséquence.)
    On a donc $\{1,3\} \subseteq \{1,3\}$ mais $\{1,3\} \not\subset \{1,3\}$. Aussi, $\{1,2\} \subseteq \{1,2,3\}$ mais $\{1,2\} \not\subseteq \{1,3\}$ car $2 \notin \{1,3\}$.

  3. L'union de deux ensembles $A$ et $B$, notée $A \cup B$, est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$.
    Autrement dit, c'est le plus petit ensemble $C$ tel que $A \subseteq C$ et $B \subseteq C$.
    Par exemple, $\{1,2\} \cup \{1,3\} = \{1,2,3\}$.

  4. L'intersection de deux ensembles $A$ et $B$, notée $A \cap B$, est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ et à $B$ à la fois.
    Autrement dit, c'est le plus grand ensemble $C$ tel que $C \subseteq A$ et $C \subseteq B$.
    Par exemple, $\{1,2\} \cap \{1,3\} = \{1\}$.

  5. La différence de deux ensembles $A$ et $B$, notée $A \setminus B$, est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ mais n'appartiennent pas à $B$.
    Autrement dit, c'est le plus grand ensemble $C$ tel que $C \subseteq A$ et $C \cap B$ est vide.
    Par exemple, $\{1,2\} \setminus \{1,3\} = \{2\}$.

  6. Le complémentaire d'un ensemble $A$, noté $A^c$ ou parfois $\overline{A}$, est intuitivement l'ensemble des éléments qui n'appartiennent pas à $A$. Mais pour pouvoir définir ce concept rigoureusement, il faut tout d'abord se placer dans un ensemble plus gros $U$ (généralement fixé par le contexte) que l'on appelle univers. On dit alors qu'il s'agit de l'ensemble des éléments de $U$ n'appartenant pas à $A$.
    Par exemple, si $U = \{1,2,3\}$, $\{1,2\}^c = \{3\}$.

2. Ensembles usuels

Les ensembles les plus courants ont une notation spécifique.
  • $\emptyset$ est l'ensemble vide, c'est un ensemble qui ne contient aucun élément. On pourrait le définir par extension par $\emptyset = \{\}$.
  • $\mathbb{N}$ est l'ensemble des naturels, c'est-à-dire tous les nombres entiers positifs : $0,1,2,3,\ldots$
  • $\mathbb{Z}$ est l'ensemble des entiers : $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$
  • $\mathbb{R}$ est l'ensemble des réels. Il comprend tous les nombres positifs et négatifs, entiers et non entiers. Il y a deux sortes de nombres réels : les rationnels et les irrationnels.
  • $\mathbb{Q}$ est l'ensemble des rationnels, il comprend tous les réels qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction de deux entiers.
    Par exemple, $0.5$ est un rationnel car il vaut $\frac{1}{2}$ qui est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont entiers. Les nombres $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont par contre irrationnels (c'est-à-dire qu'ils ne sont pas rationnels), quoiqu'il ne soit pas évident de le démontrer rigoureusement.
Ces ensembles sont inclus strictement les uns dans les autres comme suit : $\emptyset \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

On applique parfois à ces ensembles des modifications comme retirer $0$ ou ne considérer que les nombres négatifs ou positifs.
  • Pour retirer l'élément $0$ à $\mathbb{Z}$, il y a plusieurs notations possibles :
    1. $\mathbb{Z} \setminus \{0\}$
    2. $\mathbb{Z}_0$
    3. $\mathbb{Z}^*$
  • Pour ne prendre que les réels positifs (respectivement négatifs), on note $\mathbb{R}^+$ (resp. $\mathbb{R}^{-}$).
Le fait que la notation soit en exposant ou en indice dépend vraiment de la personne. L'ensemble des réels strictement positifs peut donc être noté de multiples manières, ce qui ne doit pas tracasser le lecteur outre mesure : $$\mathbb{R}_+^0 = \mathbb{R}_+^* = \mathbb{R}_0^+ = \mathbb{R}_*^+$$

3. Produit cartésien

$n$-uplets

Un $n$-uplet (ou $n$-uple) est un groupement de $n$ éléments dont l'ordre a de l'importance. Par exemple, $(1,2)$ et $(3,0)$ sont des $2$-uplets et sont aussi appelés des couples. Les différents éléments d'un $n$-uplet sont séparés par des virgules et tous les éléments sont entourés par des parenthèses. Ces éléments ne sont pas spécialement des nombres : il peut s'agir d'éléments appartenant à des ensembles quelconques.

Produit cartésien

Pour définir le type d'élément contenu dans un $n$-uplet, on utilise le produit cartésien des ensembles $\times$.
Par exemple, l'ensemble des couples dont le premier élément est un entier et le deuxième est un réel s'écrit $\mathbb{Z} \times \mathbb{R}$. L'ensemble $\mathbb{R} \times \mathbb{N} \times \{-2,-1\}$ contient donc $(\pi,3,-1)$ et $\left(\frac{3}{2},0,-2\right)$ mais pas $(1,2,3)$ car $3 \notin \{-2,-1\}$ ni $\left(0, \frac{1}{2}, -1\right)$ car $\frac{1}{2} \notin \mathbb{N}$.

Lorsque plusieurs ensembles sont les mêmes dans le produit cartésien, on utilise la notation exponentielle pour abréger. Par exemple, l'ensemble des couples de naturels $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ s'écrit aussi $\mathbb{N}^2$. On peut donc également écrire $\{-2,-1\}^2 = \{(-2,-2),(-2,-1),(-1,-2),(-1,-1)\}$.

4. Quantificateurs

Le symbole $\forall$ signifie "pour tout". Par exemple, "$\forall n \in \mathbb{N}$" signifie "pour tout nombre naturel $n$".
Plus précisément, cela veut dire que la proposition qui va suivre va être vraie quel que soit le naturel $n$ que l'on considère.

Le symbole $\exists$, quant à lui, signifie "il existe". Par exemple, "$\exists\ n \in \mathbb{Z}$" signifie "il existe un nombre entier $n$".
Cette fois-ci, cela veut dire qu'il existe un entier $n$ tel que la proposition qui suit est vraie. Cela ne signifie pas qu'il n'y en a qu'un seul : il pourrait y en avoir plusieurs.

Proposition avec quantificateur

Une proposition comportant des quantificateurs se sépare en deux parties. À gauche les quantificateurs séparés par des virgules, au milieu un ":" signifiant "tel(s) que" et à droite une sous-proposition.

Par exemple dans $\forall x \in \mathbb{R}, \exists\ y \in \mathbb{R}$ : $y = -x$, la partie gauche est $\forall x \in \mathbb{R}, \exists\ y \in \mathbb{R}$ et la partie droite est $y = -x$. Elle se lit donc "Pour tout réel $x$, il existe un réel $y$ tel que $y = -x$" ou plus simplement "tout réel possède un opposé réel".

La sous-proposition peut bien entendu à nouveau contenir des quantificateurs et récursivement...

Importance de l'ordre

Dans la partie gauche, l'ordre des quantificateurs est d'une importance cruciale. Par exemple, la proposition $\forall x \in \mathbb{R}, \exists\ y \in \mathbb{R}$ : $y = x^2$ est vraie car elle signifie "pour tout réel, il existe un réel qui soit son carré" mais la proposition $\exists\ y \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}$ : $y = x^2$ est fausse car elle signifie "il existe un réel qui soit le carré de tous les réels".

Remarque

On a l'impression que si une proposition est vraie avec $\forall$, elle l'est également avec $\exists$. Par exemple, $\forall n \in \mathbb{N}$ : $n \geq 0$ est vrai et $\exists\ n \in \mathbb{N}$ : $n \geq 0$ est vrai aussi.

Il existe pourtant certains cas astucieux où la proposition est vraie avec $\forall$ alors qu'elle est fausse avec $\exists$. C'est notamment le cas lorsqu'on manipule l'ensemble vide. Par exemple, $\forall n \in \emptyset$ : $n = n$ est vrai mais $\exists\ n \in \emptyset$ : $n = n$ est faux, car il n'y a aucun élément $n$ dans l'ensemble vide.

5. Somme et produit

En mathématique, il arrive vite un moment où l'on désire traiter plus d'une ou deux variables. Souvent, le nombre de variables lui-même est une variable (que l'on note généralement $n$). Quand tel est le cas, on ne les nomme alors plus $a,b,c,\ldots$, non seulement parce qu'il n'y a que $26$ lettres dans l'alphabet, mais aussi parce que cette notation n'est pas pratique si l'on désire parler du $i^{\mathrm{ème}}$ élément. À la place, on préfère utiliser une seule lettre à laquelle on associe des indices.
Si l'on est en présence de $3$ variables, on les appelle par exemple $a_1, a_2, a_3$. Lorsque le nombre de variables vaut $n$ (qui n'est pas connu), on peut les appeler $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Les points de suspension ($\ldots$) sont ici utilisés car le reste des variables peut être complété avec bon sens.

Somme

Si on souhaite parler de la somme de ces $n$ éléments, une façon de faire est de réutiliser ces points de suspension :
$$a_1 + a_2 + \ldots + a_n$$ Lorsque les expressions se compliquent, il devient cependant parfois laborieux de procéder ainsi. Par exemple, la somme suivante est longue à écrire et peu agréable à lire.
$$\left(\frac{1+a_1}{\sqrt{1-a_1}}\right)^3 + \left(\frac{1+a_2}{\sqrt{1-a_2}}\right)^3 + \ldots + \left(\frac{1+a_n}{\sqrt{1-a_n}}\right)^3$$ C'est pourquoi le symbole $\sum$ (appelé signe somme) existe et permet d'écrire une telle somme de façon bien plus compacte. En utilisant ce symbole, la somme des variables $a_i$ s'écrit
$$\sum_{i = 1}^n a_i .$$ Cette notation a une signification simple mais il faut un peu de temps pour s'y habituer. Il y a trois parties importantes dans une expression contenant un signe somme :

  • En dessous du symbole $\sum$ est écrit une variable (ici $i$) et une valeur de départ (ici $1$),
  • Au dessus du symbole est écrit la valeur d'arrivée (ici $n$),
  • A droite du signe somme se situe une expression.

La variable indiquée en dessous du symbole ($i$) va prendre toutes les valeurs entières entre la valeur de départ et celle d'arrivée (incluses). L'expression à droite est évaluée pour chacune de ces valeurs et notre nouveau symbole $\sum$ signifie que l'on considère la somme de toutes ces expressions. Dans $\displaystyle\sum_{i = 1}^n a_i$, l'expression $a_i$ est évaluée pour $i$ allant de $1$ jusque $n$, et on désigne donc bien de cette façon la somme $a_1 + \ldots + a_n$. Notre somme plus compliquée, quant à elle, s'écrit à présent
$$\sum_{i = 1}^n \left(\frac{1+a_i}{\sqrt{1-a_i}}\right)^3.$$
Ici, $i$ a servi d'indice, mais cela n'est pas obligatoire. Par exemple, on peut écrire
$$\sum_{i = 3}^7 i = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 \quad \text{ou même} \quad \sum_{i= 1}^4 1 = 1+1+1+1.$$ La définition de $\sum$ semble un peu restrictive car elle ne permet que des pas de $1$, mais on peut facilement se débrouiller pour arriver à des expressions plus complexes comme
$$\sum_{k = 1}^4 2k = 2 + 4 + 6 + 8 \text{,}$$ $$\sum_{k = 0}^5 (-1)^{k} (2k+1) = 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11.$$

Produit

De façon analogue, il existe aussi le signe produit $\prod$ qui désigne le produit des expressions plutôt que leur somme. Par exemple,
$$\prod_{k = 1}^4 (k + a_k) = (1 + a_1) (2 + a_2) (3 + a_3) (4 + a_4).$$ Ce symbole permet notamment de définir la factorielle d'un nombre comme étant
$$n! = \prod_{k = 1}^n k = 1\cdot2\cdot \ldots \cdot n.$$

Itération sur un ensemble

Il existe une variante où au lieu de donner une valeur de départ et d'arrivée à notre variable, on lui donne l'ensemble dans lequel elle varie. On écrit par exemple
$$\prod_{i = 3}^5 a_i = \prod_{i \in \{3,4,5\}}a_i = a_3\cdot a_4\cdot a_5.$$ (NB : On voit ici l'importance du fait que la somme et le produit soient commutatifs pour cette notation puisque l'ordre des éléments dans un ensemble n'a pas d'importance.)

Imbrication

Ces expressions peuvent bien entendu être imbriquées. On a par exemple
$$\sum_{i=1}^3 \prod_{j = 1}^i a_j = \prod_{j= 1}^1 a_j + \prod_{j=1}^2 a_j + \prod_{j= 1}^3 a_j = a_1 + a_1 a_2 + a_1 a_2 a_3.$$