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Ensembles usuels

Les ensembles les plus courants ont une notation spécifique.
  • $\emptyset$ est l'ensemble vide, c'est un ensemble qui ne contient aucun élément. On pourrait le définir par extension par $\emptyset = \{\}$.
  • $\mathbb{N}$ est l'ensemble des naturels, c'est-à-dire tous les nombres entiers positifs : $0,1,2,3,\ldots$
  • $\mathbb{Z}$ est l'ensemble des entiers : $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$
  • $\mathbb{R}$ est l'ensemble des réels. Il comprend tous les nombres positifs et négatifs, entiers et non entiers. Il y a deux sortes de nombres réels : les rationnels et les irrationnels.
  • $\mathbb{Q}$ est l'ensemble des rationnels, il comprend tous les réels qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction de deux entiers.
    Par exemple, $0.5$ est un rationnel car il vaut $\frac{1}{2}$ qui est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont entiers. Les nombres $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont par contre irrationnels (c'est-à-dire qu'ils ne sont pas rationnels), quoiqu'il ne soit pas évident de le démontrer rigoureusement.
Ces ensembles sont inclus strictement les uns dans les autres comme suit : $\emptyset \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

On applique parfois à ces ensembles des modifications comme retirer $0$ ou ne considérer que les nombres négatifs ou positifs.
  • Pour retirer l'élément $0$ à $\mathbb{Z}$, il y a plusieurs notations possibles :
    1. $\mathbb{Z} \setminus \{0\}$
    2. $\mathbb{Z}_0$
    3. $\mathbb{Z}^*$
  • Pour ne prendre que les réels positifs (respectivement négatifs), on note $\mathbb{R}^+$ (resp. $\mathbb{R}^{-}$).
Le fait que la notation soit en exposant ou en indice dépend vraiment de la personne. L'ensemble des réels strictement positifs peut donc être noté de multiples manières, ce qui ne doit pas tracasser le lecteur outre mesure : $$\mathbb{R}_+^0 = \mathbb{R}_+^* = \mathbb{R}_0^+ = \mathbb{R}_*^+$$