Remarquons que les moyennes que nous avons vues pour le moment ont des formes assez semblables, à l'exception de la moyenne géométrique. En effet, les moyennes harmoniques, arithmétiques et quadratiques ont la forme
(1nn∑i=1api)1p avec
p=−1,1 et
2 respectivement. On remarque aussi que l'ordre des moyennes, donné par les inégalités des moyennes, est le même que celui des différentes valeurs de
p.
L'idée des moyennes généralisées est alors de permettre à
p dans la formule précédente de prendre n'importe quelle valeur réelle. Cela n'est juste pas possible pour
p=0, mais par chance, la moyenne géométrique semble justement au vu des inégalités des moyennes être plus grande que les moyennes avec
p<0 et plus petite que celles avec
p>0. On définit donc, sur base de ces constatations,
Mp{ai}={(∏ni=1ai)1nsi p=0,(1n∑ni=1api)1psi p≠0. On a alors l'inégalité des moyennes généralisées, comme on le pressentait :
Inégalité des moyennes généralisées
Si p,q∈R sont tels que p<q, alors pour tous réels strictement positifs a1,…,an on a
Mp{ai}≤Mq{ai}. L'égalité a lieu si et seulement si a1=…=an.
Nous verrons dans le point théorique suivant les moyennes pondérées et les inégalités les concernant. Elles seront encore plus générales que celles-ci, et nous en donnerons la démonstration.