Théorie > Inégalités > Inégalités de Hölder et de Minkowski


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Points théoriques

Inégalité de Hölder Inégalité de Minkowski

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3

Prérequis

Résumé

L'inégalité de Hölder est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, alors que l'inégalité de Minkowski est une généralisation de l'inégalité triangulaire. Ces inégalités ne sont pas fréquemment utilisées mais il ne faut pas pour autant les négliger. En effet, lorsqu'elles sont utiles dans un problème, il est très difficile de s'en passer. C'est d'ailleurs pour cette raison que leur preuve n'est pas évidente.


Ce chapitre a été écrit par B. Legat et N. Radu et mis en ligne le 8 décembre 2014.

1. Inégalité de Hölder

L'inégalité de Hölder est l'inégalité suivante.

Inégalité de Hölder
Soient $p, q > 1$ des nombres réels tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Pour tous $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}^+$ et $b_1, \ldots, b_n \in \mathbb{R}^+$, on a
$$a_1b_1 + \ldots + a_n b_n \leq \left(a_1^p + \ldots + a_n^p\right)^\frac{1}{p} \cdot \left(b_1^q + \ldots + b_n^q\right)^\frac{1}{q},$$ ce qui s'écrit, à l'aide des signes somme,
$$\sum_{i=1}^n a_ib_i \leq \left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac{1}{p}}\cdot\left(\sum_{i=1}^nb_i^q\right)^{\frac{1}{q}}.$$ De plus, l'égalité a lieu si et seulement si $a_i = 0$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$ ou s'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $b_i^q = \lambda a_i^p$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$.

Pour $p = q = 2$ (qui conviennent puisque $\frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1$), on retrouve exactement l'inégalité de Cauchy-Schwarz (avec des variables positives).

Démonstration
Remarquons tout d'abord que l'inégalité de Hölder est homogène (que ce soit par rapport aux $a_i$ comme par rapport aux $b_i$). Cela nous permet donc d'effectuer certaines suppositions sur les variables. Nous allons en fait supposer que $$\sum_{i=1}^n a_i^p = 1 = \sum_{i=1}^n b_i^q.$$ Nous ne perdons ainsi aucune généralité puisque, si nous démontrons l'inégalité de Hölder sous cette condition, elle sera également vraie lorsque $\sum_{i=1}^n a_i^p = k$ et $\sum_{i=1}^n b_i^q = l$ pour certains $k, l \neq 0$. En effet, il suffit pour s'en convaincre d'effectuer le changement de variables $a'_i = \frac{a_i}{\sqrt[p]{k}}$ et $b'_i = \frac{b_i}{\sqrt[q]{l}}$. Les cas où $k$ ou $l$ est nul sont quant à eux triviaux puisqu'on a alors tous les $a_i$ ou tous les $b_i$ qui sont nuls.

On utilise à présent l'inégalité entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique généralisées. Comme $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$, celle-ci nous apprend que
$$u^{\frac{1}{p}} v^{\frac{1}{q}} \leq \frac{1}{p} u + \frac{1}{q} v$$ pour tous $u, v \in \mathbb{R}^+$. En prenant $u = a_i^p$ et $v = b_i^q$, on en déduit que
$$a_ib_i \leq \frac{a_i^p}{p} + \frac{b_i^q}{q},$$ et ce pour tout $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$. Il suffit alors d'effectuer la somme sur $i$ pour obtenir
$$\sum_{i=1}^n a_ib_i \leq \frac{\sum_{i=1}^n a_i^p}{p} + \frac{\sum_{i=1}^n b_i^q}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.$$ Cela termine la preuve, puisque $$1 = \left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac{1}{p}}\cdot\left(\sum_{i=1}^nb_i^q\right)^{\frac{1}{q}}.$$ Enfin, l'égalité a lieu (dans notre cas restreint où $\sum_{i=1}^n a_i^p = 1 = \sum_{i=1}^n b_i^q$) quand $a_i^p = b_i^q$ pour tout $i$. On peut facilement vérifier que, en passant au cas général, l'égalité a en fait lieu lorsque les vecteurs $(a_1^p, \ldots, a_n^p)$ et $(b_1^q, \ldots, b_n^q)$ sont proportionnels, comme annoncé.

On peut en fait aussi écrire une version de l'inégalité de Hölder pour $0 < p < 1$ et $q < 0$. Dans ce cas (plus rare), l'inégalité est inversée. Nous ne détaillons pas la démonstration de ce résultat.

2. Inégalité de Minkowski

L'inégalité de Minkowski est l'inégalité suivante.

Résultat
Soit $p \in \mathbb{R}_0^+$ et soient $a_1,\ldots,a_n \in \mathbb{R}^+$ et $b_1,\ldots,b_n \in \mathbb{R}^+$.

  • Si $p > 1$, on a
    $$\left((a_1+b_1)^p + \ldots + (a_n+b_n)^p\right)^\frac{1}{p} \leq \left(a_1^p + \ldots + a_n^p \right)^\frac{1}{p} + \left(b_1^p + \ldots + b_n^p \right)^\frac{1}{p},$$ ce qui s'écrit aussi, à l'aide des signes somme,
    $$\left(\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^p\right)^\frac{1}{p} \leq \left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac{1}{p}} + \left(\sum_{i=1}^nb_i^p\right)^{\frac{1}{p}}.$$
  • Si $0 < p < 1$, on a au contraire
    $$\left(\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^p\right)^\frac{1}{p} \geq \left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac{1}{p}} + \left(\sum_{i=1}^nb_i^p\right)^{\frac{1}{p}}.$$
De plus, on a l'égalité si et seulement si $a_i = 0$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$ ou s'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $b_i = \lambda a_i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$.

Pour $p = 2$, on retrouve l'inégalité triangulaire (avec des variables positives).

Démonstration
Nous donnons la démonstration dans le cas où $p > 1$, l'autre cas se prouvant pareillement. Nous avons
$$\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p = \sum_{i= 1}^n a_i (a_i+b_i)^{p-1} + \sum_{i=1}^n b_i (a_i+b_i)^{p-1}.$$ On applique alors l'inégalité de Hölder à chacune des deux sommes, avec les coefficients $p$ et $\frac{p}{p-1}$ (qui sont bien tels que $\frac{1}{p} + \frac{p-1}{p} = 1$). Cela nous donne
$$\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^p \right)^\frac{1}{p} \left( \sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\right)^\frac{p-1}{p} + \left( \sum_{i=1}^n b_i^p \right)^\frac{1}{p} \left( \sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\right)^\frac{p-1}{p}.$$ En divisant chaque membre par $\displaystyle\left( \sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\right)^\frac{p-1}{p}$, on obtient exactement l'inégalité de Minkowski.

De plus, le cas d'égalité de l'inégalité de Hölder nous indique que l'égalité a ici lieu lorsque les vecteurs $(a_1^p, \ldots, a_n^p)$ et $\left((a_1+b_1)^p, \ldots, (a_n+b_n)^p\right)$ sont proportionnels et qu'il en est de même des vecteurs $(b_1^p, \ldots, b_n^p)$ et $\left((a_1+b_1)^p, \ldots, (a_n+b_n)^p\right)$. On vérifie aisément que cela n'arrive que lorsque les vecteurs $(a_1, \ldots, a_n)$ et $(b_1, \ldots, b_n)$ sont proportionnels.