Inégalités de Muirhead et de Schur

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Inégalité de Muirhead

Pour énoncer l'inégalité de Muirhead, le plus simple est de commencer par définir la notion de

$p$ -moyenne.

Les $p$ -moyennes

Définition

Soit

$p = (p_1,\ldots,p_n) \in \mathbb{R}^n$ un

$n$ -uple de réels quelconques. Étant donnés

$n$ nombres réels strictement positifs

$x_1, \ldots, x_n$ , on définit la $p$ -moyenne des

$x_i$ comme

$[p]_x = \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in \mathrm{Sym}(n)}x_{\sigma(1)}^{p_1}\cdot x_{\sigma(2)}^{p_2} \cdot \ldots \cdot x_{\sigma(n)}^{p_n},$ où

$\mathrm{Sym}(n)$ désigne l'ensemble de toutes les permutations possibles de

$\{1,\ldots,n\}$ . On écrira parfois

$[p]$ plutôt que

$[p]_x$ lorsque les variables sont sous-entendues.

Par exemple, pour

$p = (3,2,1)$ , on a

$[p]_{(a,b,c)} = \frac{a^3 b^2 c + a^3 b c^2 + a^2 b^3 c + a^2 b c^3 + a b^2 c^3 + a b^3 c^2}{6}.$
Les moyennes arithmétiques et géométriques sont en fait des cas particuliers des

$p$ -moyennes. En effet, on a

$\begin{align} \left[(1,0,\ldots, 0)\right]_x &= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in \mathrm{Sym}(n)} x_{\sigma(1)} \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1\\[2mm] & = \frac{x_1+\ldots+x_n}{n}, \end{align}$ c'est-à-dire la moyenne arithmétique, et

$\begin{align} \left[\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\ldots, \frac{1}{n}\right)\right]_x &= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in \mathrm{Sym}(n)} x_{\sigma(1)}^\frac{1}{n} \cdot x_{\sigma(2)}^\frac{1}{n} \cdot \ldots \cdot x_{\sigma(n)}^\frac{1}{n}\\[2mm] & = \sqrt[n]{x_1x_2\ldots x_n}, \end{align}$ c'est-à-dire la moyenne géométrique.

Inégalité de Muirhead

Un peu comme les inégalités sur les moyennes (harmonique, géométrique, arithmétique et quadratique), l'inégalité de Muirhead permet de comparer différentes

$p$ -moyennes de plusieurs nombres.

On se concentre pour cela sur l'ensemble

$P \subset \mathbb{R}^n$ des

$n$ -uples décroissants, c'est-à-dire des

$n$ -uples

$p = (p_1,\ldots,p_n)$ tels que

$p_1 \geq p_2 \geq \ldots \geq p_n$ . On dit alors que le

$n$ -uple

$(p_1, \ldots, p_n) \in P$ majore le

$n$ -uple

$(q_1, \ldots, q_n) \in P$ , ce que l'on note

$(p_1,\ldots,p_n) \succ (q_1,\ldots,q_n)$ si les conditions suivantes sont satisfaites :

Pour tout $1 \leq i < n$ , on a $p_1 + p_2 + \ldots + p_i \geq q_1 + q_2 + \ldots + q_i$ ;
$p_1 + p_2 + \ldots + p_n = q_1 + q_2 + \ldots + q_n$ .

Par exemple, on a

$(5,2,1) \succ (3,3,2)$ puisque

$5 \geq 3$ ,

$5+2 \geq 3+3$ et

$5+2+1 = 3+3+2$ .

On peut maintenant énoncer l'inégalité de Muirhead :

Inégalité de Muirhead

Soient

$p = (p_1,\ldots,p_n)$ et

$q = (q_1,\ldots,q_n)$ deux

$n$ -uples décroissants de nombres réels. Si

$p \succ q$ , alors pour tous réels strictement positifs

$x_1, \ldots, x_n$ , on a

$[p]_x \geq [q]_x.$ De plus, si

$p \neq q$ , alors le cas d'égalité se produit si et seulement si

$x_1 = x_2 = \ldots = x_n$ .

Remarque

L'inégalité de Muirhead est également vraie pour

$x_1, \ldots, x_n$ positifs ou nuls, pourvu qu'aucun des

$p_1, \ldots, p_n, q_1, \ldots, q_n$ ne soit négatif. On ne peut en effet pas mettre

$0$ à une puissance négative. (On considèrera que

$0^0 = 1$ si certains des exposants

$p_1, \ldots, p_n, q_1, \ldots, q_n$ sont nuls). Notons toutefois que le cas d'égalité n'est plus simplement

$x_1 = x_2 = \ldots = x_n$ lorsqu'on autorise les variables à être nulles, puisqu'une seule variable nulle peut parfois rendre les

$p$ -moyennes et

$q$ -moyennes égales à

$0$ .

Remarquons que

$\displaystyle \left(\frac{1}{n}, \ldots, \frac{1}{n}\right) \prec (1,0,\ldots, 0)$ , donc avec l'inégalité de Muirhead on retrouve que la moyenne géométrique de plusieurs nombres est toujours inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique.

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