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Général

Résumé Chapitre entier

Points théoriques

Moyennes Inégalités des moyennes

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8

Prérequis

Résumé

Les inégalités des moyennes font partie des inégalités les plus connues et les plus couramment utilisées. Elles se révèlent utiles à la résolution de nombreuses inégalités et interviennent également dans certains problèmes de géométrie ou de théorie des nombres.


Ce chapitre a été écrit par B. Legat et N. Radu et mis en ligne le 8 décembre 2014.

1. Moyennes

Dans le monde courant, on calcule souvent la moyenne arithmétique de plusieurs nombres. En fait, il existe d'autres façons de calculer une moyenne, et c'est l'objet de cette section.

Moyenne arithmétique

Il s'agit de la moyenne la plus connue. La moyenne arithmétique des nombres $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ est donnée par
$$m\{a_i\} = \frac{a_1 + \ldots + a_n}{n}.$$ Exemple : La moyenne arithmétique des nombres $2$, $7$ et $9$ est $\displaystyle\frac{2+7+9}{3} = 6$.

Moyenne géométrique

On a l'habitude, en calculant une moyenne arithmétique de $n$ nombres, de les additionner avant de diviser le résultat par $n$. La moyenne géométrique, quant à elle, consiste de manière analogue à multiplier les nombres avant de prendre la racine $n^\text{ème}$ du résultat. On a donc, pour $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}^+$,
$$g\{a_i\} = \sqrt[n]{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n}$$ Exemple : La moyenne géométrique des nombres $2$, $7$ et $9$ est $\sqrt[3]{2\cdot 7 \cdot 9} \approx 5.01$.

Moyenne harmonique

La moyenne harmonique est un peu plus farfelue mais peut servir tout autant dans le cadre des inégalités. Elle consiste à calculer l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses des nombres. Elle s'exprime donc, pour $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}_0^+$, comme
$$h\{a_i\} = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \ldots + \frac{1}{a_n}}.$$ Exemple : La moyenne harmonique des nombres $2$, $7$ et $9$ est $\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}} \approx 3.98$.

Moyenne quadratique

Un peu comme pour la moyenne harmonique, on peut aussi calculer la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés des nombres. Il s'agit alors de la moyenne quadratique, définie dès lors pour $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}^+$ par
$$q\{a_i\} = \sqrt{\frac{a_1^2 + \ldots + a_n^2}{n}}.$$ Exemple : La moyenne quadratique des nombres $2$, $7$ et $9$ est $\displaystyle\sqrt{\frac{2^2+7^2+9^2}{3}} \approx 6.68$.

Remarque

Nous avons donc quatre façons de calculer des moyennes, et on constate sur notre exemple que les résultats sont sensiblement différents. C'est justement la comparaison des différentes moyennes qui va nous intéresser dans ce chapitre. En effet, nous avons pour notre exemple
$$2 \leq h\{2,7,9\} \leq g\{2,7,9\} \leq m\{2,7,9\} \leq q\{2,7,9\} \leq 9,$$ et nous allons voir que cette suite d'inégalité est en fait vraie en toute généralité.

2. Inégalités des moyennes

On a la suite d'inégalités suivantes (à noter que les notations introduites précédemment pour les moyennes ne sont pas forcément courantes, et il est donc important d'expliquer les notations utilisées dans une démonstration éventuelle en compétition).

Inégalités des moyennes (harmonique, géométrique, arithmétique et quadratique)
Soient $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}_0^+$. On a la suite d'inégalités
$$\min\{a_i\} \leq h\{a_i\} \leq g\{a_i\} \leq m\{a_i\} \leq q\{a_i\} \leq \max\{a_i\}.$$ De plus, chacune des inégalités devient une égalité exactement lorsque tous les $a_i$ sont égaux.

Nous donnons la démonstration de cette suite d'inégalité dans le cas où $n = 2$. Elles sont bien sûr valables pour $n$ quelconque, mais la démonstration générale est trop complexe à ce stade du cours. Celle-ci sera cependant donnée dans le chapitre sur les moyennes généralisées.

Démonstration (pour $n = 2$)
Pour $n = 2$, on note $a \leq b$ les deux éléments dont on calcule les différentes moyennes. On doit donc démontrer que
$$\displaystyle a \leq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b.$$
  • $\displaystyle a \leq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ : Comme $b \geq a$, on a $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{2}{a}$ et on a l'inégalité voulue en prenant les inverses (ce qu'on peut faire car les deux côtés de l'inégalité sont positifs).

  • $\displaystyle \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$ : On a $0 \leq (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$, ce qui permet directement de conclure.

  • $\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}$ : On sait par le point précédent que $\displaystyle\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}} \leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}$. En passant aux inverses, on obtient l'inégalité voulue.

  • $\displaystyle \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ : En élevant les deux membres au carré, on voit que l'on doit montrer l'inégalité $\displaystyle\frac{a^2+b^2+2ab}{4} \leq \frac{a^2+b^2}{2}$. Après simplification, on voit que cette dernière est elle-même équivalente à $(a-b)^2 \geq 0$, qui est toujours vrai.

  • $\displaystyle \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b$ : Comme $a \leq b$, on a directement $\displaystyle \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq \displaystyle \sqrt{\frac{b^2+b^2}{2}} \leq b$.

De plus, on vérifie aisément que chacune de ces inégalités devient une égalité exactement lorsque $a = b$.