L'inégalité de Tchebychev permet de comparer une "moyenne des produits" avec le "produit des moyennes".
Soient $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ et $b_1, \ldots, b_n \in \mathbb{R}$.
- Si $a_1 \leq \ldots \leq a_n$ et $b_1 \leq \ldots \leq b_n$, alors
$$\frac{a_1b_1+\ldots+a_n b_n}{n} \geq \left( \frac{a_1+\ldots+a_n}{n}\right) \cdot \left( \frac{b_1+\ldots+b_n}{n} \right),$$ ce qui s'écrit, à l'aide du signe somme,
$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_ib_i \geq \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i\right) \cdot \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n b_i\right).$$
- Si $a_1 \leq \ldots \leq a_n$ et $b_1 \geq \ldots \geq b_n$, alors on a au contraire
$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_ib_i \leq \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i\right) \cdot \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n b_i\right).$$
La démonstration consiste à utiliser l'inégalité de réarrangement à plusieurs reprises. Détaillons le cas où $a_1 \leq \ldots \leq a_n$ et $b_1 \leq \ldots \leq b_n$.
Par l'inégalité du réarrangement, on a les $n$ inégalités suivantes :
$$\begin{align}
a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n & \geq a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n\\[1mm]
a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n & \geq a_1b_2 + a_2b_3 + \ldots + a_nb_1\\[1mm]
a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n & \geq a_1b_3 + a_2b_4 + \ldots + a_nb_2\\
& \vdots \\[1mm]
a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n & \geq a_1b_n + a_2b_1 + \ldots + a_nb_{n-1}\\[1mm]
\end{align}$$ En additionnant ces inégalités, on obtient
$$n(a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n) \geq (a_1+\ldots +a_n)\cdot(b_1+\ldots+b_n),$$ et on arrive au résultat en divisant les deux membres par $n^2$.