Théorie > Algèbre

Informations

Chaque chapitre est constitué de points théoriques et d'exercices. Ces derniers ont pour but de vérifier que la théorie a bien été assimilée. Ils rapportent chacun entre 3 et 12 points, selon leur difficulté. Pour compléter un chapitre, il faut résoudre tous ses exercices.

Certains chapitres ont d'autres chapitres pour prérequis. Pour accéder aux exercices d'un tel chapitre, il est nécessaire de d'abord compléter ses chapitres prérequis.

Introduction

Cette section reprend les chapitres d'algèbre autres que ceux concernant les équations fonctionnelles et les inégalités. Les problèmes rentrant dans cette catégorie sont généralement liés aux polynômes ou aux suites : c'est les sujets que nous abordons ici. Il existe aussi des problèmes originaux qu'on ne peut pas réellement classer et dont la solution consiste souvent à enchaîner des arguments logiques faisant intervenir peu de théorie.

Chapitres

Nombres complexes

Avoir une intuition des nombres complexes n'est pas chose facile, puisqu'ils n'apparaissent pas de manière évidente dans la nature. Ils ne sont cependant pas pour autant inutiles et, quoique les énoncés de problèmes d'olympiades ne contiendront probablement jamais de nombres complexes, leur bonne connaissance permet de résoudre certains problèmes de manière beaucoup plus directe. Les nombres complexes peuvent également être utilisés en géométrie.

Exercices

Statistiques

Complété par 433 personnes
Taux de réussite : 73%

Polynômes

Nous donnons dans ce chapitre les premières définitions et les premiers résultats concernant les polynômes et leurs racines. Le théorème fondamental de l'algèbre s'intéresse notamment au nombre de racines d'un polynôme à coefficients complexes, et permet l'écriture de tout tel polynôme sous la forme d'un produit plutôt que d'une somme de différents termes.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre, vous devez d'abord compléter : Nombres complexes

Exercices

Statistiques

Complété par 284 personnes
Taux de réussite : 79%

Nombres complexes (forme exponentielle)

Multiplier deux nombres complexes ou élever un nombre complexe à une certaine puissance donne lieu à des formules peu attrayantes lorsqu'on utilise la forme habituelle $a+ib$. Nous présentons dans ce chapitre la forme trigonométrique et la forme exponentielle des nombres complexes, qui ont une interprétation géométrique et permettent de multiplier ou d'élever à une puissance de manière beaucoup plus efficace.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre, vous devez d'abord compléter : Nombres complexes

Exercices

Statistiques

Complété par 208 personnes
Taux de réussite : 67%

Polynômes (suite)

Il existe un grand nombre de résultats faisant intervenir des polynômes. Nous expliquons ici les formules de Viète, la formule d'interpolation de Lagrange et la formule de Taylor. Nous nous intéressons ensuite à l'irréducibilité des polyômes à coefficients rationnels ou entiers.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre, vous devez d'abord compléter : Polynômes

Exercices

Statistiques

Complété par 143 personnes
Taux de réussite : 72%

Suites

Les suites interviennent souvent dans les problèmes d'algèbre, que ce soit dans leur énoncé ou de manière plus cachée. Dans tous les cas, il faut être capable d'analyser une suite de nombres et d'en trouver les propriétés pour résoudre ces problèmes.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre, vous devez d'abord compléter : Polynômes

Exercices

Statistiques

Complété par 160 personnes
Taux de réussite : 76%