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Théorie > Théorie des nombres > Équations modulaires

Exemples concrets

Il existe beaucoup d'exemples de problèmes dont la résolution est un appel direct au théorème des restes chinois. C'est d'ailleurs car ce type de problème apparaît assez naturellement que les mathématiciens se sont attachés à leur trouver une solution générale.

L'armée de Han Xin

On associe parfois le problème résolu par le théorème au général chinois Han Xin comptant son armée. Celle-ci étant gigantesque, en compter les membres un par un ne semblait pas envisageable. Pour remédier à cela, une solution est donc de demander aux militaires de se placer en rangs de différentes façons et d'observer le nombre d'hommes qui n'ont pas pu se ranger. Le problème peut donc se voir par exemple de la sorte :

Problème
Lorsque les militaires se placent en rangs de 5, il en reste 2 qui n'ont pas pu se ranger. En rangs de 7, il en reste 3, En rangs de 8, il en reste 6, en rangs de 9, il en reste un seul, en rangs de 11, il n'en reste pas, et en rangs de 13, il en reste 8. Sachant que l'armée de Han Xin comporte moins de 300000 soldats, combien sont-ils exactement ?

Solution
On cherche ici un nombre entier x compris entre 0 et 300000 respectant les conditions :
{x2(mod5)x3(mod7)x6(mod8)x1(mod9)x0(mod11)x8(mod13) Comme les nombres 5,7,8,9,11,13 sont premiers entre eux deux à deux, le théorème des restes chinois nous indique qu'il existe une unique solution modulo 57891113=360360. Avec un peu de courage, on peut trouver en suivant la méthode expliquée précédemment que l'armée de Han Xin compte dans notre exemple exactement 254782 soldats.

Concordance de calendriers

On pense aussi que l'astronomie est une autre motivation des Chinois à résoudre ce genre de problème. En effet, on est vite amené à se poser des questions du type :

Problème
Nous sommes un 30 janvier, et une pleine lune est prévue après-demain. Quand verrons-nous une pleine lune le jour du nouvel an ?

Solution
Le problème peut se réécrire (en oubliant les années bissextiles)
{x29(mod365)x2(mod28)x est le nombre de jours qu'il faudra attendre avant d'observer un tel phénomène. En effet, il y a eu un nouvel an il y a 29 jours, et ceux-ci se répètent tous les 365 jours. De la même façon, il y aura une pleine lune dans deux jours et celles-ci se produisent tous les 28 jours. Pour cet exemple, on trouve x=1066 ce qui signifie que l'on observera une pleine lune le jour du nouvel an dans un peu moins de 3 ans.

Le butin des pirates

Un autre exemple type, bien que plus anecdotique, est le suivant (merci Wikipédia pour l'énoncé).

Problème
Une bande de 17 pirates possède un trésor constitué de pièces d'or d'égale valeur. Ils projettent de se les partager également, et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait alors 3 pièces. Mais les pirates se querellent, et six d'entre eux sont tués. Un nouveau partage donnerait au cuisinier 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seuls le trésor, six pirates et le cuisinier sont sauvés, et le partage donnerait alors 5 pièces d'or à ce dernier. Quelle est la fortune minimale que peut espérer le cuisinier s'il décide d'empoisonner le reste des pirates ?

Solution
Si x désigne le nombre de pièces que comporte le trésor, le problème s'écrit cette fois-ci :
{x3(mod17)x4(mod11)x5(mod6) À nouveau, on peut utiliser le théorème des restes chinois et trouver x=785 comme unique solution modulo 61117=1122. Le cuisinier peut donc espérer au moins 785 pièces en commettant son crime...