Une question naturelle, étant donné un nombre $n \in \mathbb{N}_0$, est de se demander combien il possède de diviseurs. Si la décomposition en facteurs premiers du nombre $n$ est connue, alors il existe une formule très simple :
Formule (nombre de diviseurs)
Si $n \in \mathbb{N}_0$ possède la décomposition
$$ n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k}$$ alors $n$ possède exactement $(e_1+1)\cdot(e_2+1)\cdot \ldots \cdot (e_k+1)$ diviseurs (positifs).
Pour reprendre l'exemple précédent, $90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ possède exactement $(1+1)\cdot(2+1)\cdot(1+1) = 12$ diviseurs positifs. On peut le vérifier à la main puisque les diviseurs de $90$ sont $1$, $2$, $3$, $5$, $6$, $9$, $10$, $15$, $18$, $30$, $45$, et $90$.
Démonstration
Étant donnée la décomposition de $n$, il semble évident qu'un nombre $m$ ne pourra diviser $n$ que si sa décomposition est de la forme
$$ m = p_1^{f_1} \cdot p_2^{f_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{f_k}$$ où chaque $f_i$ est compris entre $0$ et $e_i$ inclus (un exposant $0$ revenant à ne pas écrire $p_i$ puisque $p_i^0 = 1$ par convention).
Dès lors, le nombre de diviseurs $m$ de $n$ est exactement égal au nombre de façons de choisir les valeurs des $f_i$. Puisqu'il y a $e_i + 1$ possibilités pour $f_i$, il y a au total $(e_1+1)\cdot(e_2+1)\cdot \ldots \cdot (e_k+1)$ telles façons de faire.