Concours > Concours #3

Description

Ce troisième concours est bien différent des deux premiers puisqu'il sera question d'algèbre linéaire. Seule la connaissance des notions les plus élémentaires sera nécessaire pour participer. Les six problèmes, à résoudre durant les 10 premiers jours de mars, pourront divertir ceux ayant déjà ces connaissances mais également faire découvrir l'algèbre linéaire à ceux qui ne la connaîtraient pas encore. Les quelques notions à connaître sont par exemple expliquées ici et là. Je remercie Nicolas Radu pour avoir rendu tout cela possible, en espérant que ce concours un peu particulier trouve des amateurs et amatrices ;-). D'avance, bonne chance à toutes et à tous !

Organisateur du concours : 4Damien Lefèvre.

Problème #1

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).
Énoncé
On travaille dans $\mathbb{R}^n$, avec $n \ge 3$, et on désigne par $\mathrm{S}_n$ l'ensemble des permutations de $\{1,\ldots,n\}$. Pour tout $\sigma \in \mathrm{S}_n$, considérons l'application linéaire
$$\begin{alignat*}{2}
f_{\sigma} : \mathbb{R}^n& \to \mathbb{R}^n\\
(x_1, \ldots, x_n)& \mapsto (x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)}).
\end{alignat*}$$ Si $F_\sigma$ désigne l'ensemble des points fixes de $f_\sigma$, alors déterminer la dimension de $F_\sigma$ en fonction de $\sigma$ (et de ses propriétés).
Statistiques
Tenté par 9 personnes
Scores parfaits : 7

Problème #2

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).
Énoncé
Considérons maintenant l'application linéaire suivante :
$$\begin{alignat*}{2}
f : \mathbb{R}^n& \to \mathbb{R}^n\\
(x_1, \ldots, x_n)& \mapsto (x_n, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}).
\end{alignat*}$$ Pour $k \geq 1$, posons $f^k = \underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_\text{$k$ fois}$ et $F^k$ l'ensemble des points fixes de $f^k$. Déterminer la dimension de $F^k$ en fonction de $n$ et $k$.
Statistiques
Tenté par 8 personnes
Scores parfaits : 2

Problème #3

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).
Énoncé
Pour $v \in \mathbb{R}^n$, définissons $S_v$ comme le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ engendré par l'ensemble
$$\{f_{\sigma}(v)\ |\ \sigma \in \mathrm{S}_n\}.$$ Déterminer la dimension de $S_v$ en fonction de $v$.
Statistiques
Tenté par 5 personnes
Scores parfaits : 3

Problème #4

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).
Énoncé
Montrer que $S_v$ est également engendré par l'ensemble
$$\{f_{\sigma}(v)\ |\ \sigma \in \mathrm{A}_n\},$$ où $\mathrm{A}_n$ désigne l'ensemble des permutations paires de $\{1,\ldots,n\}$.
Statistiques
Tenté par 4 personnes
Scores parfaits : 2

Problème #5

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).
Énoncé
Soit $\mathscr{L}(\mathbb{R}^n)$ l'espace vectoriel (de dimension $n^2$) des applications linéaires de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^n$. Définissons $S$ comme le sous-espace vectoriel de $\mathscr{L}(\mathbb{R}^n)$ engendré par l'ensemble
$$\{f_{\sigma}\ |\ \sigma \in \mathrm{S}_n\}.$$ Déterminer la dimension de $S$.
Statistiques
Tenté par 3 personnes
Scores parfaits : 2

Problème #6

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).
Énoncé
Donner une base d'un supplémentaire de $S$ dans $\mathscr{L}(\mathbb{R}^n)$, puis dans le sous-espace vectoriel constitué des applications satisfaisant la propriété suivante : si la somme des coordonnées d'un vecteur est nulle, alors il en va de même pour son image.
Statistiques
Tenté par 1 personne
Scores parfaits : 1