Concours > Concours #1

Description

Voici le tout premier concours de Mathraining ! Pour ce premier essai, six problèmes sont proposés, deux par week-end, les problèmes aux numéros impairs étant plus faciles que les problèmes aux numéros pairs. En espérant ainsi qu'un maximum de personnes puissent en profiter, sans que tout le monde ne réussisse tous les problèmes non plus...

Organisateurs du concours : Nicolas Radu.

Classement après 4 problèmes

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Problèmes

Problème #1

Solutions acceptées du vendredi 4 janvier 2019 à 16h00 au samedi 5 janvier 2019 à 12h00 (heures belges).

Énoncé

Sur un tableau, $n$ nombres entiers sont écrits (avec $n \geq 3$). Ces nombres sont strictement positifs, inférieurs ou égaux à $(n-1)!$, et distincts deux à deux. Pour chaque paire de nombres sur le tableau, Odilon a calculé le quotient entier du plus grand par le plus petit et a écrit le résultat dans son carnet. Prouver qu'il y a au moins deux nombres égaux dans le carnet d'Odilon.

(Le quotient entier de deux nombres est la partie entière de leur quotient. Par exemple, le quotient entier de $27$ par $4$ est $6$.)

Statistiques

Tenté par 26 personnes
Scores parfaits : 21
Origine du problème : All-Russian Mathematical Olympiad 2017, Grade 9, Jour 2, Problème 1 (légèrement modifié)

Problème #2

Solutions acceptées du samedi 5 janvier 2019 à 16h00 au dimanche 6 janvier 2019 à 12h00 (heures belges).

Énoncé

Montrer que si $p$ est un nombre premier tel que $p+1$ est divisible par $12$, alors $p$ divise
$$16 \cdot \prod_{n=2}^{p-2} \left((1-n^2+n^4)(1-2n^2+n^4) \right) - 1.$$

Statistiques

Tenté par 18 personnes
Scores parfaits : 11
Origine du problème : Inspiré de PUMaC 2018 - Number Theory - Problème 6

Problème #3

Solutions acceptées du vendredi 11 janvier 2019 à 16h00 au samedi 12 janvier 2019 à 12h00 (heures belges).

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle et $D$ un point de $[AB]$ tel que $4 \cdot |AD| = |AB|$. Soit $P$ le point appartenant au cercle circonscrit à $ABC$, du même côté de $AB$ que $C$, et tel que $\widehat{PDA} = \widehat{ACB}$. Prouver que $|PB| = 2 \cdot |PD|$.

Statistiques

Tenté par 21 personnes
Scores parfaits : 21
Origine du problème : British Mathematical Olympiad 2003 - Round 2 - Problème 2

Problème #4

Solutions acceptées du samedi 12 janvier 2019 à 16h00 au dimanche 13 janvier 2019 à 12h00 (heures belges).

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f \colon \mathbb Q \to \mathbb Q$ telles que
$$f(x)+f(t) = f(y)+f(z)$$ pour tous nombres rationnels $x < y < z < t$ formant une progression arithmétique.

Statistiques

Tenté par 19 personnes
Scores parfaits : 8
Origine du problème : United States of America Junior Mathematical Olympiad 2015, Problème 4

Problème #5

Solutions acceptées du vendredi 18 janvier 2019 à 16h00 au samedi 19 janvier 2019 à 12h00 (heures belges).
Temps avant publication : --------

Problème #6

Solutions acceptées du samedi 19 janvier 2019 à 16h00 au dimanche 20 janvier 2019 à 12h00 (heures belges).
Temps avant publication : --------