Théorie > Équations fonctionnelles > Introduction aux équations fonctionnelles

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Résumé

Dans les équations que l'on a l'habitude de résoudre, l'inconnue est un nombre réel (voire un entier ou un naturel). Le principe des équations fonctionnelles est, comme son nom l'indique, différent : les inconnues sont ici des fonctions. Nous expliquons en détails dans ce chapitre de quoi il s'agit, avant de donner la méthode fondamentale dans la résolution de ces équations : les substitutions.

Ce chapitre a été écrit par P.-A. Jacqmin et mis en ligne le 8 décembre 2014.

1. Définition et exemples

Rappelons que, lorsque $A$ et $B$ sont deux ensembles, une fonction $f:A \to B$ associe à chaque élément $a \in A$ un unique élément $f(a) \in B$.

Une équation fonctionnelle est un problème où l'on doit trouver toutes les fonctions $f: A \to B$ satisfaisant une certaine propriété. En d'autres termes, pour chaque $a \in A$, nous devons trouver la valeur de $f(a)$.

Exemple 1
Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(x+y)+f(x-y)=f(x)+x$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$.

Exemple 2
Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(x+y)+f(x-y)=f(x)+x+y$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$.

Exemple 3
Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ telles que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tous $x,y \in \mathbb{Q}$.

Nous reviendrons sur ces exemples plus tard.

2. Substitutions

En général, énormément d'informations peuvent être extraites d'une équation fonctionnelle. Revenons à notre premier exemple :

Exemple 1
Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(x+y)+f(x-y)=f(x)+x$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$.

Dans ce problème, à chaque fois que l'on choisit deux réels $x$ et $y$, on obtient une égalité que la fonction doit satisfaire. Par exemple, pour $x=3$ et $y=-1$, on déduit que $f(2)+f(4)=f(3)+3$. Cela est évidement impossible d'écrire toutes ces égalités (il y en a une infinité !). Nous devons donc choisir celles qui nous semblent intéressantes. C'est-à-dire, nous devons choisir des valeurs pour $x$ ou $y$ qui vont nous donner des informations utiles. C'est ce qui s'appelle la substitution. Souvent, les substitutions suivantes se révèlent utiles :

  • Poser $x=y=0$,

  • Poser $x=0$ (sans fixer $y$),

  • Poser $y = 0$ (sans fixer x),

  • Poser $x = y$,

  • Poser $x = -y$,

  • Poser $x = f(y)$,

  • Poser $y = f(x)$,

  • $\ldots$

Il ne s'agit évidemment pas des seules substitutions possibles. On sera par exemple tenté si le terme $(2x-y)$ apparaît dans l'équation de poser $y = 2x$.
Dans notre exemple, en utilisant de telles substitutions, nous obtenons :

  1. $f(0)+f(0)=f(0)$ (en posant $x=y=0$).

  2. $f(y)+f(-y)=f(0)$ pour tout $y \in \mathbb{R}$ (en posant $x=0$).

  3. $f(x)+f(x)=f(x)+x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (en posant $y=0$).

  4. $f(2x)+f(0)=f(x)+x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (en posant $x=y$).

  5. $f(0)+f(-2y)=f(-y)-y$ pour tout $y \in \mathbb{R}$ (en posant $x=-y$).

  6. $f(f(y)+y)+f(f(y)-y)=f(f(y))+f(y)$ pour tout $y \in \mathbb{R}$ (en posant $x=f(y)$).

  7. $f(x+f(x))+f(x-f(x))=f(x)+x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (en posant $y=f(x)$).

On peut immédiatement remarquer que certaines substitutions sont beaucoup plus intéressantes que d'autres (ici, C est clairement plus utile que F). En général, on essaye de simplifier des termes, ou d'obtenir un terme que l'on connait déjà. Grâce à cette technique, nous pouvons déjà résoudre notre exemple 1 en utilisant simplement le point C. En voici une solution complète :

Solution de l'exemple 1
En substituant $y$ par $0$ dans l'équation, nous obtenons
$$f(x)+f(x)=f(x)+x$$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Dès lors, la fonction $f$ définie par $f(x)=x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ est la seule solution pouvant éventuellement fonctionner.
Il reste à vérifier qu'il s'agit bien d'une solution. On a bien pour cette fonction $f$ :
$$f(x+y)+f(x-y)=x+y+x-y=2x=f(x)+x$$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$. L'équation fonctionnelle possède donc pour unique solution $f(x)=x$.

Voici également un autre exemple, plus poussé, où plusieurs substitutions successives permettent de résoudre le problème.

Autre exemple
Trouver toutes les fonctions $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que
$$f(x-f(y)) = -x^2 + 2xf(y) + f(f(y)) + f(0)$$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$.

Solution
En remplaçant $x$ par $f(y)$ (idée suggérée par la forme du membre de gauche), on trouve que
$$f(0) = -f(y)^2 + 2f(y)^2 + f(f(y)) + f(0),$$ c'est-à-dire que
$$f(f(y)) = -f(y)^2$$ pour tout $y \in \mathbb{R}$. On peut dès lors remplacer $f(f(y))$ par $-f(y)^2$ dans l'équation initiale, ce qui donne
$$\begin{align*}
f(x-f(y)) &= -x^2 + 2xf(y) - f(y)^2 + f(0)\\
&= -(x-f(y))^2 + f(0)
\end{align*}$$ pour tous $x, y \in \mathbb{R}$. Lorsque $y$ est fixé et $x$ varie dans $\mathbb{R}$, le terme $x-f(y)$ varie et prend toutes les valeurs réelles. En effet, pour un $z \in \mathbb{R}$ fixé le nombre $x = z+f(y)$ est tel que $x-f(y) = z$. On a donc, pour tout $z \in \mathbb{R}$ :
$$f(z) = -z^2 + f(0).$$ Rappelons-nous toutefois que $f(f(y)) = -f(y)^2$ pour tout $y \in \mathbb{R}$, donc en posant $z = f(y)$ dans notre équation précédente on voit que $f(0)$ doit être nul. Il en découle que $f(z) = -z^2$ pour tout $z \in \mathbb R$.

Il reste maintenant à vérifier que cette fonction est bien solution, car nous avons uniquement montré jusqu'ici que si $f$ est solution de l'équation initiale alors $f$ est de la forme $f(z) = -z^2$. La réciproque n'est pas forcément vraie, il se pourrait que $f(z) = -z^2$ ne soit pas solution (auquel cas l'équation ne posséderait aucune solution). Ici notre fonction $f$ définie par $f(z) = -z^2$ vérifie bien l'équation initiale, puisque
$$f(x-f(y)) = f(x+y^2) = -(x+y^2)^2$$ et
$$-x^2 + 2xf(y) + f(f(y)) + f(0) = -x^2 - 2xy^2 - y^4 = -(x+y^2)^2.$$ Il s'agit donc bel et bien de l'unique solution.

3. Deviner les solutions

Une autre étape éventuelle dans la résolution d'équations fonctionnelles est d'essayer d'en deviner les solutions. Il suffit pour cela d'essayer les fonctions les plus courantes et de regarder si elles vérifient ou non l'équation. Voici une liste des fonctions qui se révèlent souvent être solutions d'équations fonctionnelles :

  • $f(x) = 0$, ou plus généralement $f(x) = c$ pour une certaine constante $c$,

  • $f(x) = x$, $f(x) = -x$, ou plus généralement $f(x) = ax$ pour une certaine constante $a$,

  • $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x},$

  • $\ldots$
Évidemment, la forme de l'équation permet généralement de deviner quelles fonctions tester. Il se peut aussi qu'une équation fonctionnelle ne possède aucune solution !

Revenons à nos exemples :

Exemple 1
Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(x+y)+f(x-y)=f(x)+x$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$.

En testant les différentes fonctions données dans la liste précédente, on voit que $f(x) = x$ fonctionne et il ne semble pas y avoir d'autres solutions.

Exemple 2
Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(x+y)+f(x-y)=f(x)+x+y$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$.

Aucune des fonctions de la liste ne semble convenir : il est probable que cette équation n'ait aucune solution.

Exemple 3
Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ telles que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tous $x,y \in \mathbb{Q}$.

On constate que pour tout $a \in \mathbb{Q}$, la fonction $f(x) = ax$ est solution de l'équation.

Même si deviner les solutions d'une équation ne rapporte généralement pas de points en compétition, cette étape est souvent utile puisqu'elle permet de se faire une intuition du problème. D'autre part, la connaissance des solutions peut influencer le raisonnement et donner des idées quant à comment résoudre l'équation. Par exemple, si la fonction $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ semble être l'unique solution d'une équation, alors poser $\displaystyle g(x) = \frac{1}{f(x)}$ peut parfois être une bonne idée (pourvu que l'on sache que $f(x) \neq 0$ pour tout $x$). En effet, il faut alors montrer que $g(x) = x$ est l'unique solution de la nouvelle équation, ce qui est généralement plus simple.

4. Pièges à éviter

Voici une liste (non exhaustive) de choses à ne surtout pas faire quand on résout une équation fonctionnelle.

  1. Négliger les domaines de définition et d'arrivée des fonctions. Par exemple, les problèmes suivants sont complètement différents :

    1. Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ telles que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tous $x,y \in \mathbb{Q}$.

    2. Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$.

    Nous reviendrons à ces équations plus tard.

  2. Supposer que la fonction est un polynôme. En effet, sauf indication contraire, rien ne nous dit que $f(x)$ est de la forme $a_nx^n + \ldots + a_1x +a_0$. Il nous est donc impossible de parler du degré de $f$. Une solution possible pourrait être de la forme $f(x)=\sqrt[3]{x}$.

  3. Dériver $f$. S'il n'est pas explicitement écrit dans l'énoncé, comment peut-on dire que $f$ est dérivable ? A priori, nous ne pouvons même pas dire que $f$ est continue ! Cela n'a donc pas de sens de calculer $f'(x)$.

  4. Oublier de vérifier que les solutions que l'on obtient vérifient bien l'équation. En se servant des substitutions (ce que l'on fait à chaque fois), nous utilisons seulement une partie des informations données. Les solutions que l'on obtient n'ont donc aucune raison de satisfaire celles que l'on n'a pas utilisées. Revenons à notre exemple 2 :

    Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(x+y)+f(x-y)=f(x)+x+y$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$.

    En substituant $y$ par $0$, on obtient
    $$f(x)+f(x)=f(x)+x$$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. La seule solution possible est donc $f(x)=x$. Vérifions-la :
    $$f(x+y)+f(x-y)=2x \ \text{ mais } \ f(x)+x+y = 2x+y \neq 2x \ \text{ pour } y \neq 0.$$ Il n'y a donc pas de solution à l'équation !

    Nous voyons ici toute l'importance de toujours vérifier toutes ses solutions. Si on oublie de le faire (même si la solution trouvée se révèle être correcte), on est systématiquement sanctionné de minimum $1$ point lors de concours. Évitable, non ?