Théorie > Combinatoire > Principe des tiroirs

Exemples d'application

Voici deux exemples d'applications du principe des tiroirs, illustrant le fait que l'on peut démontrer des résultats assez divers avec ce principe.

Problème
Prouver que si $7$ nombres distincts sont choisis dans l'ensemble $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$, alors il en existe deux dont la somme vaut $12$.

Solution
Considérons le partitionnement de cet ensemble en $6$ sous-ensembles $\{1,11\}$, $\{2,10\}$, $\{3,9\}$, $\{4,8\}$, $\{5,7\}$ et $\{6\}$. Par le principe des tiroirs, Il existe $2$ nombres qui appartiennent à un même sous-ensemble. Comme ces nombres sont distincts, leur somme vaut obligatoirement $12$.

Problème
Prouver que si $3$ nombres réels sont dans l'intervalle $[0,1[$, alors il existe parmi eux deux nombres $a$ et $b$ tels que $|b-a|<\frac 12$.

Solution
Considérons les deux intervalles $\left[0,\frac 12\right[$ et $\left[\frac 12,1\right[$ formant une partition de $[0,1[$. Par le principe des tiroirs, l'un de ces intervalles contient au moins deux nombres. Leur différence, en valeur absolue, est strictement inférieure à $\frac 12$.