Théorie > Équations fonctionnelles > Boîte à outils des équations fonctionnelles

Prérequis

Résumé

Il n'existe pas de réelle théorie pure permettant de résoudre toutes les équations fonctionnelles. La connaissance de diverses approches est donc primordiale, c'est pourquoi nous présentons dans ce chapitre plusieurs méthodes et astuces pouvant se révéler utiles.

Ce chapitre a été écrit par P.-A. Jacqmin et mis en ligne le 8 décembre 2014.

1. Points particuliers

Étudier certains ensembles de points particuliers peut s'avérer très utile dans certains problèmes. Par points particuliers, il faut comprendre les racines de $f$ (c'est-à-dire les $x$ tels que $f(x) = 0$), ou ses points fixes (c'est-à-dire les $k$ tels que $f(k)=k$), ou d'autres points respectant une propriété commune. Un bon exemple vaut mieux qu'un long discours.

Exemple d'utilisation

Problème
Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(f(x)+x)=f(x)+x$ et $f(f(2x)-x)=x-2f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Solution
La première condition nous incite à étudier les points fixes. Supposons que $k \in \mathbb{R}$ soit tel que $f(k)=k$. Alors, par la première condition, $f(f(k)+k)=f(k)+k$, ce qui implique $f(2k)=2k$. La deuxième condition nous donne alors $f(f(2k)-k)=k-2f(k)$, ce qui implique $f(k)=-k$. On a donc $k = f(k) = -k$ d'où $k = 0$, et nous venons de montrer que si $k$ est un point fixe, alors $k = 0$. Autrement dit, l'unique point fixe éventuel de $f$ est $0$ :
$$\{k \in \mathbb{R} \ | \ f(k)=k\} \subseteq \{0\}.$$ Or, la première condition nous dit justement que $f(x)+x$ est un point fixe pour tout $x \in \mathbb{R}$. Cela signifie donc que $f(x)+x=0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, c'est-à-dire que $f(x)=-x$. La seule solution possible est donc $f(x)=-x$. N'oublions pas de vérifier qu'il s'agit bien d'une solution :
$$f(f(x)+x)=f(0)=0=f(x)+x \ \text{ et } \ f(f(2x)-x)=f(-3x)=3x=x-2f(x)$$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. L'unique solution est donc $f(x) = -x$.

Remarquons que, en général, quand on étudie les points fixes (ou les racines), rien ne nous garantit qu'il en existe. Nous disons juste : si $k$ est un hypothétique point fixe, alors il respecte telle ou telle condition (dans notre exemple $k=0$). Il se pourrait même qu'on arrive à des conditions contradictoires pour $k$. On aurait dès lors prouvé qu'il n'existe aucun point fixe, ce qui peut toujours se révéler utile par la suite !

2. Fonction de fonction

Supposons que dans un problème, nous ayons obtenu une égalité du type
$$f(f(x))= \ldots$$ Dans ce cas, une astuce très souvent utile est de calculer $f(f(f(x)))$ de deux manières différentes :
$$f \bigg( f(f(x)) \bigg) = f\bigg(f \bigg( f(x) \bigg) \bigg).$$

Exemple d'utilisation

Pour être plus clair, prenons un exemple. Supposons qu'on sache que $f$ respecte l'équation
$$f(f(x))=3x+1$$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Nous pouvons alors dire que
$$f(f(f(x))) = f \bigg( f(f(x)) \bigg) = f(3x+1),$$ mais aussi, en substituant $x$ par $f(x)$ dans l'équation $f(f(x))=3x+1$, que
$$f(f(f(x))) = f\bigg(f \bigg( f(x) \bigg) \bigg) =3f(x)+1.$$ Nous en déduisons donc que
$$f(3x+1)=3f(x)+1$$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, ce qui est évidemment une information utile.

3. Multigraphes

Il est maintenant temps d'ajouter un piège courant des équations fonctionnelles à notre liste du premier chapitre. Comme précédemment, il sera plus facile de le comprendre avec un exemple. Supposons qu'on obtienne l'équation $f(x)^2=1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Une erreur courante consiste à dire la chose suivante :

"Donc $f(x)=1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ ou $f(x)=-1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Il y a donc seulement deux solutions possibles : vérifions-les."

Ceci est faux ! En effet, en faisant cela, nous avons oublié une infinité de solutions potentielles : celles qui valent $1$ par endroits et $-1$ aux autres (ce qu'on pourrait appeler des "multigraphes"). De l'équation $f(x)^2=1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, nous pouvons donc seulement déduire : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x)=1$ ou $f(x)=-1$.

Évidemment, la plupart du temps, ce genre de multigraphe ne sera tout de même pas une solution. Il faudrait alors pour conclure :

  1. Vérifier si $f(x)=1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $f(x)=-1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ sont des solutions.

  2. Prouver par l'absurde qu'il n'y a pas de solutions en multigraphes. Pour ce faire, on peut supposer qu'il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $f(k)=1$ et $k' \in \mathbb{R}$ tel que $f(k')=-1$ et tenter de trouver une contradiction.