Théorie > Combinatoire > Invariants et (mono)variants

Exercice 5 (12 points) (15% de réussite au premier essai)
(15% de réussite au 1er essai)

Deux cents étudiants sont placés en cercle, chacun d'eux portant un chapeau sur lequel est inscrit un nombre réel. Deux nombres inscrits sur deux chapeaux voisins ont toujours une différence comprise entre $1$ et $3$ (en valeur absolue), et la somme des $200$ nombres inscrits sur les chapeaux vaut $1600$. Trouver un intervalle $[a,b]$ avec $a$ et $b$ entiers tel que l'on soit certain qu'il existe $5$ étudiants adjacents dont les nombres inscrits sur les chapeaux ont une somme dans l'intervalle $[a,b]$. Parmi tous les intervalles possibles, on choisira celui maximisant $a$ puis, si nécessaire, celui minimisant $b$. Une fois cet intervalle trouvé, donner la valeur de $a\cdot b$.

Utiliser les mêmes méthodes que celles présentées dans le point théorique sur les variants.


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