Théorie > Combinatoire > Invariants et (mono)variants

Exercice 2 (6 points)
(61% de réussite au 1er essai)

Dans le contexte suivant, quelle quantité est un invariant et permet de directement résoudre le problème ?

Lors d'une fête, $1000$ personnes sont conviées. A l'entrée, chacune reçoit un papier avec un numéro différent entre $1$ et $1000$ inclus. A tout moment, $n \geq 3$ convives peuvent décider de modifier leur numéro selon la procédure suivante. Ils se placent autour d'une table ronde, dans l'ordre qu'ils souhaitent, et chaque participant ajoute le numéro de son voisin de gauche puis retire celui de son voisin de droite à son propre numéro; chacun remplace alors son ancien numéro par le résultat qu'il a obtenu. Les modifications se font toutes en même temps, en ce sens que chacun considère les anciens numéros de ses voisins pour effectuer son changement. Est-il possible qu'à la fin de la soirée, les $1000$ fêtards aient tous le même numéro ?







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