Rapports de section
Théorème de Ceva
Le théorème de Ceva donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites issues des trois sommets d'un triangle soient concourantes (ou parallèles dans un cas dégénéré, bien qu'il puisse également servir).
Un corollaire immédiat de ce théorème est que les trois médianes d'un triangle sont concourantes. En effet, le rapport de section du milieu d'un côté par rapport aux deux sommets de ce côté vaut $-1$, et le produit donne donc trivialement $-1$, ce qui prouve que les médianes sont concourantes.
Cette version trigonométrique peut dans certains cas être préférable. Par exemple, une conséquence directe de ce résultat est que les bissectrices (intérieures) d'un triangle sont concourantes. On ne pouvait pas le déduire immédiatement de la première version de Ceva.
Théorème de Ceva
Soit $ABC$ un triangle et $D \in BC$, $E \in AC$, $F \in AB$ des points distincts des sommets. Les droites $AD$, $BE$ et $CF$ sont concourantes ou parallèles si et seulement si
$$r_{AB}(F) \cdot r_{BC}(D) \cdot r_{CA}(E) = -1$$ ou, autrement dit, si
$$\frac{\overline{FB}}{\overline{FA}} \cdot \frac{\overline{DC}}{\overline{DB}} \cdot \frac{\overline{EA}}{\overline{EC}} = -1.$$
$$r_{AB}(F) \cdot r_{BC}(D) \cdot r_{CA}(E) = -1$$ ou, autrement dit, si
$$\frac{\overline{FB}}{\overline{FA}} \cdot \frac{\overline{DC}}{\overline{DB}} \cdot \frac{\overline{EA}}{\overline{EC}} = -1.$$
Un corollaire immédiat de ce théorème est que les trois médianes d'un triangle sont concourantes. En effet, le rapport de section du milieu d'un côté par rapport aux deux sommets de ce côté vaut $-1$, et le produit donne donc trivialement $-1$, ce qui prouve que les médianes sont concourantes.
Démonstration
Nous démontrons le théorème de Ceva dans le cas où les points $D$, $E$ et $F$ sont situés sur les côtés du triangle et non à l'extérieur. Le lecteur doit cependant garder à l'esprit que celui-ci reste valide même lorsque $D$, $E$ ou $F$ se situe sur les prolongements des côtés.
Dans ce cas particulier, les droites ne seront bien sûr jamais parallèles, et le produit des trois rapports de sections sera toujours négatif (en tant que produit de trois nombres négatifs). Nous devons donc simplement montrer que les droites $AD$, $BE$ et $CF$ sont concourantes si et seulement si
$$\frac{|FB|}{|FA|} \cdot \frac{|DC|}{|DB|} \cdot \frac{|EA|}{|EC|} = 1.$$ Commençons par l'implication $\Rightarrow$. On suppose donc que les trois droites se rencontrent en un point $M$, et on cherche à montrer que le produit vaut $1$. On s'intéresse pour cela aux aires des différents triangles présents dans la figure.
Les triangles $BDM$ et $CDM$ ayant la même hauteur, le rapport de leurs aires est égal au rapport de leurs bases :
$$\frac{S(BDM)}{S(CDM)} = \frac{|BD|}{|DC|}.$$ On peut faire la même constatation pour les triangles $BDA$ et $CDA$ :
$$\frac{S(BDA)}{S(CDA)} = \frac{|BD|}{|DC|}.$$ Dès lors, le triangle $BMA$ pouvant être obtenu comme différence des triangles $BDA$ et $BDM$, tout comme $CMA$ qui est la différence des triangles $CDA$ et $CDM$, on garde le même rapport :
$$\frac{S(BMA)}{S(CMA)} = \frac{|BD|}{|DC|}.$$ Or, ce raisonnement est également valable sur les deux autres côtés du triangle, et on a donc aussi les relations
$$\frac{S(CMB)}{S(AMB)} = \frac{|CE|}{|EA|} \quad \text{ et } \quad \frac{S(AMC)}{S(BMC)} = \frac{|AF|}{|BF|}.$$ En multipliant les trois dernières égalités, on a la formule voulue (après passage à l'inverse).
Passons à l'implication $\Leftarrow$. On suppose cette fois que
$$\frac{|FB|}{|FA|} \cdot \frac{|DC|}{|DB|} \cdot \frac{|EA|}{|EC|} = 1,$$ et on cherche à montrer que les trois droites sont concourantes. Pour ce faire, on note $M$ le point d'intersection des droites $BE$ et $CF$, et ensuite $D'$ l'intersection de $AM$ avec $BC$. Il suffit alors de montrer que $D = D'$. Par l'autre partie de la preuve, vu que $AD'$, $BE$ et $CF$ sont concourantes, on sait que
$$\frac{|FB|}{|FA|} \cdot \frac{|D'C|}{|D'B|} \cdot \frac{|EA|}{|EC|} = 1.$$ On en déduit que
$$ \frac{|DC|}{|DB|} = \frac{|D'C|}{|D'B|}.$$ Autrement dit, $D$ et $D'$ ont le même rapport de section par rapport à $B$ et $C$ : on a donc $D = D'$ comme désiré.
Dans ce cas particulier, les droites ne seront bien sûr jamais parallèles, et le produit des trois rapports de sections sera toujours négatif (en tant que produit de trois nombres négatifs). Nous devons donc simplement montrer que les droites $AD$, $BE$ et $CF$ sont concourantes si et seulement si
$$\frac{|FB|}{|FA|} \cdot \frac{|DC|}{|DB|} \cdot \frac{|EA|}{|EC|} = 1.$$ Commençons par l'implication $\Rightarrow$. On suppose donc que les trois droites se rencontrent en un point $M$, et on cherche à montrer que le produit vaut $1$. On s'intéresse pour cela aux aires des différents triangles présents dans la figure.
Les triangles $BDM$ et $CDM$ ayant la même hauteur, le rapport de leurs aires est égal au rapport de leurs bases :
$$\frac{S(BDM)}{S(CDM)} = \frac{|BD|}{|DC|}.$$ On peut faire la même constatation pour les triangles $BDA$ et $CDA$ :
$$\frac{S(BDA)}{S(CDA)} = \frac{|BD|}{|DC|}.$$ Dès lors, le triangle $BMA$ pouvant être obtenu comme différence des triangles $BDA$ et $BDM$, tout comme $CMA$ qui est la différence des triangles $CDA$ et $CDM$, on garde le même rapport :
$$\frac{S(BMA)}{S(CMA)} = \frac{|BD|}{|DC|}.$$ Or, ce raisonnement est également valable sur les deux autres côtés du triangle, et on a donc aussi les relations
$$\frac{S(CMB)}{S(AMB)} = \frac{|CE|}{|EA|} \quad \text{ et } \quad \frac{S(AMC)}{S(BMC)} = \frac{|AF|}{|BF|}.$$ En multipliant les trois dernières égalités, on a la formule voulue (après passage à l'inverse).
Passons à l'implication $\Leftarrow$. On suppose cette fois que
$$\frac{|FB|}{|FA|} \cdot \frac{|DC|}{|DB|} \cdot \frac{|EA|}{|EC|} = 1,$$ et on cherche à montrer que les trois droites sont concourantes. Pour ce faire, on note $M$ le point d'intersection des droites $BE$ et $CF$, et ensuite $D'$ l'intersection de $AM$ avec $BC$. Il suffit alors de montrer que $D = D'$. Par l'autre partie de la preuve, vu que $AD'$, $BE$ et $CF$ sont concourantes, on sait que
$$\frac{|FB|}{|FA|} \cdot \frac{|D'C|}{|D'B|} \cdot \frac{|EA|}{|EC|} = 1.$$ On en déduit que
$$ \frac{|DC|}{|DB|} = \frac{|D'C|}{|D'B|}.$$ Autrement dit, $D$ et $D'$ ont le même rapport de section par rapport à $B$ et $C$ : on a donc $D = D'$ comme désiré.
Version trigonométrique
Il existe aussi une formulation trigonométrique au théorème de Ceva. La démonstration consiste simplement à appliquer la loi des sinus judicieusement, et est laissée au lecteur.Théorème de Ceva (version trigonométrique)
Soit $ABC$ un triangle et $D \in [BC]$, $E \in [AC]$, $F \in [AB]$ des points distincts des sommets. Les droites $AD$, $BE$ et $CF$ sont concourantes si et seulement si
$$\frac{\sin \widehat{FCB}}{\sin \widehat{FCA}} \cdot \frac{\sin\widehat{DAC}}{\sin \widehat{DAB}} \cdot \frac{\sin \widehat{EBA}}{\sin \widehat{EBC}} = 1.$$
$$\frac{\sin \widehat{FCB}}{\sin \widehat{FCA}} \cdot \frac{\sin\widehat{DAC}}{\sin \widehat{DAB}} \cdot \frac{\sin \widehat{EBA}}{\sin \widehat{EBC}} = 1.$$
Cette version trigonométrique peut dans certains cas être préférable. Par exemple, une conséquence directe de ce résultat est que les bissectrices (intérieures) d'un triangle sont concourantes. On ne pouvait pas le déduire immédiatement de la première version de Ceva.