Puissances de points
Puissance
Étant donné un point et un cercle, on peut définir la puissance du point par rapport au cercle comme suit.
Remarquons déjà que, le cercle $\mathcal{C}$ étant fixé, la puissance de $X$ par rapport à $\mathcal{C}$ ne dépend que de la distance $|OX|$. On constate aussi qu'elle est nulle si $X$ appartient au cercle, strictement positive si $X$ se situe en dehors du cercle et strictement négative s'il se situe à l'intérieur.
Ce qui donne aux puissances de points leur intérêt est la proposition suivante.
Définition (puissance)
Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R$, et $X$ un point. La puissance de $X$ par rapport à $\mathcal{C}$, notée $P_\mathcal{C}(X)$, est définie par
$$P_\mathcal{C}(X) = |OX|^2 - R^2.$$
$$P_\mathcal{C}(X) = |OX|^2 - R^2.$$
Remarquons déjà que, le cercle $\mathcal{C}$ étant fixé, la puissance de $X$ par rapport à $\mathcal{C}$ ne dépend que de la distance $|OX|$. On constate aussi qu'elle est nulle si $X$ appartient au cercle, strictement positive si $X$ se situe en dehors du cercle et strictement négative s'il se situe à l'intérieur.
Ce qui donne aux puissances de points leur intérêt est la proposition suivante.
Proposition
Soit $\mathcal{C}$ un cercle et $X$ un point. Soit $d$ une droite passant par $X$.
- Si $d$ intersecte $\mathcal{C}$ en deux points distincts $A$ et $B$, alors $P_\mathcal{C}(X) = \vec{XA}\cdot \vec{XB}$, c'est-à-dire
$$P_\mathcal{C}(X) = \left\{\begin{array}{cl}
|XA| \cdot |XB| & \text{ si } X \text{ est à l'extérieur de } \mathcal{C},\\
-|XA| \cdot |XB| & \text{ si } X \text{ est à l'intérieur de } \mathcal{C}.
\end{array}\right.$$ - Si la droite $d$ est tangente à $\mathcal{C}$ en $A$, alors
$$P_\mathcal{C}(X) = |XA|^2.$$
Démonstration
Nous allons démontrer ce résultat lorsque $X$ est à l'extérieur de $\mathcal{C}$. La preuve est similaire lorsque $X$ est à l'intérieur (et la deuxième situation n'arrive en fait jamais puisqu'une tangente n'a pas de points à l'intérieur du cercle).
- Si $d$ passe par $X$ et est tangente à $\mathcal{C}$ en $A$, alors le triangle $XAO$ (où $O$ est le centre de $\mathcal{C}$) est rectangle en $A$. Par Pythagore, on a donc
$$|XA|^2 = |XO|^2 - |AO|^2 = |XO|^2 - R^2 = P_\mathcal{C}(X).$$ - Supposons maintenant, tout en gardant les notations du point précédent, avoir une autre droite $d'$ passant par $X$ mais intersectant $\mathcal{C}$ en deux points distincts $A'$ et $B'$. On suppose que $A'$ est plus proche de $X$ que $B'$. Les triangles $XA'A$ et $XAB'$ sont alors semblables. En effet, on a l'angle $\widehat{A'XA}$ en commun et $\widehat{XAA'} = \widehat{AB'A'}$ (angles tangentiel et inscrit interceptant le même arc $AA'$). On en déduit l'égalité
$$\frac{|XA'|}{|XA|} = \frac{|XA|}{|XB'|},$$ qui devient
$$|XA'|\cdot |XB'| = |XA|^2 = P_\mathcal{C}(X)$$ par le point précédent.